[微積] Simpson's Rule 誤差估計證明的疑問。
x2
為了方便，符號簡化: ∫ dx = ∫ , h = x2-x0
x0
Thm:
Given [x0,x2] , x1 = (x0+x2)/2, assume f in C^4[x0,x2]
∫f = (h/3) * ( f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ) - (h^5/90)*f^(4)(ξ)
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這項是標準的辛普森法 這項是誤差
我對定理證明中，誤差項的來原有疑問。 先給課本證明
<pf>
By Taylor's expension at x1
∫f = ∫ f(x1) + f'(x1)(x-x1) + ... + f^(4)(ξ1)/24 * (x-x1)^4
= 2h*f(x1) + (h^3/3)*f''(x1) + h^5*f^(4)(ξ1)/60
( 一次微分項 、 三次微分項會正負互消)
= 2h*f(x1)
+ (h^3/3)*[ (1/h^2)*(f(x0) - 2f(x1) + f(x2)) - (h^2/12)*f^(4)(ξ2) ]
+ f^4(ξ1)/60
( 這裡是對二次微分項做中差，也就是泰勒展開式，所以又得到一個4次微分誤差)
= (h/3)*( f(x0) + 4f(x1) + f(x2))
- (h^5/12)*[ 1/3*f^(4)(ξ2)-1/5*f^(4)(ξ1))]
接下來剩下證明 ξ1 = ξ2 即可。 而這裡也是我不懂為何可以這麼做的地方
而這部分課本將它放在習題，做法是:
Let f(x) = x^4 and ∫f = (h/3)*( f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ) + kf^(4)(x)
將f代入，即可推出 k = -h^5/90
非常不了解為何這樣就可以說明 ξ1 = ξ2
想請高手解答，感謝。
參考書目: Numerical Analysis , Richard L. Burden , J. Douglas Faires
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Simpson's rule 是一個基本的數值積分方法
James Stirling 在1730好像有給出一個證明，不過我沒有查到詳細內文
另外還有一個方法是，將內插中點多塞一個重複的，變成[x0,x1,x1,x2]
利用 mean value thm of intergral 與 Lagrange iterpolation error
可以直接導出 Simpson's rule 的誤差
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08/22 18:40, , 1F
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