Re: [分析] 請問1/f連續？(topo. or norm linear?)
※ 引述《Scape (non)》之銘言：
: 有個問題如下：
: f is a (real or complex) continuous function on X,
: f is not identically zero, i.e. Y = {x:f(x)≠0} is nonempty.
: Prove 1/f defined by (1/f)(x) = 1/f(x) is continuous at every point of Y.
: 我的問題是
: 這裡的X，必須要是normed linear space嗎？
: 或只是topological scape就可以？
space ^^
: 能否給個簡略的證明讓我看一下
: 太久沒碰分析，卡關了...求救呀...
X 是 topological space 就可以了，而且只要考慮 f real 的情況就夠了。
[ f = f_1+if_2 => 1/f = f_1/(f_1^2 + f_2^2) - i f_2/(f_1^2 + f_2^2) ]
以下 Y = X ( 不然就看 Y 這個 subspace )， g := 1/f， x 屬於 X
V 為含 g(x) 的一個在 R^1 的 open set 。
V- = V ㄇ (-∞，0)，V+ = V ㄇ (0，∞)
U- := { 1/v : v 屬於 V- } ， U+ := { 1/v : v 屬於 V+ }
這裡的 U+- 和 V+- 都是 open set
g^(-1) (V) = g^(-1) (V- ㄩ V+)
= g^(-1) (V-) ㄩ g^(-1) (V+)
= f^(-1) (U-) ㄩ f^(-1) (U+)
為兩個 open set 之聯集，所以 g 在 x 連續。
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※ 編輯: Eliphalet (114.46.227.111), 06/22/2014 10:41:16
推
06/22 12:05, , 1F
06/22 12:05, 1F
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06/22 12:05, 2F
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