Re: [微積] 同學給我的題目(三角函數的Σ)
※ 引述《skbb2553 (HS)》之銘言：
: 標題: [微積] 同學給我的題目
: 時間: Sun Jun 8 00:32:19 2014
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: 證明題 http://i.imgur.com/zoLB1yt.jpg
: (條件：r s=1, 2, 3, ....n)
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: 想法：積化和差->泰勒展開->Σ對調->整理
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: Σ {sin( j (r/n+1) π ) sin ( j (s/n+1) π ) }
修一個打字錯誤，是相乘不是相加。下面就沒錯...
: =Σ {cos( (r-s) (jπ/n+1) )- cos( (r+s) (jπ/n+1) ) }
...但是你這行前面又少了 1/2
: =Σ cos( (r-s) (jπ/(n+1)) )
: -Σ cos( (r+s) (jπ/(n+1)) )
:
（以下刪）
這個公式是Fourier basis的內積，非常重要一定要學起來。
所以重點是要做
n
Σ cos[ (kπ/n+1) j ]
j = 1
這個和。一開始把 k 取為整數就好。
1. 因為 cos 是偶函數，所以可以 k --> -k，只考慮 k >= 0。
2. 若 k > 2(n+1)，多出來的部分只會給你一堆 2π，不重要。
所以只要看
k' = k mod 2(n+1)
就好了。
3. 使用 cos(x) = - cos(π- x) ：
若 k' != 0，則
cos[(k'π/n+1) * 1] = -cos[(k'π/n+1) * n]
cos[(k'π/n+1) * 2] = -cos[(k'π/n+1) * (n-1) ]
...
n 是偶數的話，整個級數就直接自己相消掉了。若 n 是奇數，還會留下正中間
j = (n+1)/2
這一項。但是把這一項代進去還是 cos( k'π/ 2 ) = 0。
4. 若 k' = 0 每一項都是 1。
5. 其餘請自己補上。
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若不限 r, s 的範圍，只要求它們是整數，更一般的結果是
(r + s) mod 2(n+1) = 0
時級數和不是零。
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完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：
