Re: [中學] 台南市市長杯決賽試題
※ 引述《iloveyy (阿)》之銘言：
: 設p為質數，如果p平方+11的正因數之個數少於11個，
: 試求滿足這樣條件的所有質數p。
: 標準答案:p=2,3,5
(1)p=2，p^2+11=15=3*5，正因數個數=(1+1)(1+1)=4 符合
(2)p=3，p^2+11=20=2^2*5，正因數個數=(2+1)(1+1)=6 符合
(3)若p＞3且p是質數，由整數分割可知p=6a+1或p=6a-1，其中a是正整數
(i)若p=6a+1，p^2+11=(6a+1)^2+11=12(3a^2+a+1)=2^2*3*(3a^2+a+1)
因為正因數個數小於11，所以3a^2+a+1=2或2^2或3，此時無a的質數解
(ii)若p=6a-1，p^2+11=(6a-1)^2+11=12(3a^2-a+1)=2^2*3*(3a^2-a+1)
所以3a^2-a+1=2或2^2或3，除了3a^2-a+1=3，得a=1，p=5外，其餘無質數解
因此滿足條件之p=2，3，5
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