[中學] 向量四點共線的問題

看板Math作者 (Ajay)時間12年前 (2013/12/13 23:24), 編輯推噓5(5推 0噓 23→)
留言28則, 5人參與, 6年前最新討論串1/1
102年第三次學測北模第7題 設O、A、B、P為平面上相異四點，OP=xOA+yOB，其中x、y為實數，則下列哪些選項是正確的？ (1)若O、A、B、P四點共線，則x+y=1 ==================== 答案不包括上述的(1)選項，也就是說它是錯的。請問錯在哪兒？ ==================== 我的想法，以下連續的兩個大寫字母表示向量： 平面上O、A、B、P四點，已知A、B兩點相異，且A、B、P共線， 則必有實數t使 AP = tAB OP = OA + AP OP = OA + tAB OP = OA + tOB - tOA OP = (1-t)OA + tOB (1-t)+t恆為1 ==================== 由以上推導，我看不出O點在哪裡會造成x+y=1有任何問題， 別管我的推導，總之請指教題中的選項錯在哪兒，謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.62.110.112
推
12/13 23:32, , 1F
題目的兩個逗點中間是什麼式子?
12/13 23:32, 1F
抱歉，已修正
推
12/13 23:34, , 2F
如果OABP共線 OP=xOA+yOB寫法不唯一
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12/13 23:34, , 3F
也就是OP = OA + tOB - tOA 這一行不一定要這樣合併
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12/13 23:34, , 4F
共線的話 表示OAOB向量平行
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（不一定要合併成(1-t)OA+tOB
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假設四點在數線上 O=0 ABP點的座標分別為pqr
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12/13 23:37, , 7F
那結果就是問你r=xp+yq 其中pqr已知
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這條方程式兩個未知數(xy)有無限多組解
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你可以實際標記例如A=1 B=5 P=7
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那x=-0.5 y=1.5 或 x=2 y=1 都是解
12/13 23:38, 10F
it大的更正已照辦，讓我想想.. ※ 編輯: linijay 來自: 61.62.110.112 (12/13 23:44) ※ 編輯: linijay 來自: 61.62.110.112 (12/13 23:47)
推
12/13 23:56, , 11F
試試看這樣講 假設OB=kOA 只要四點固定 k t就固定
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12/13 23:56, , 12F
想想向量的分點公式 課本或講義上的圖形 就會懂了
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而且k t毫無關係 那(1-t)OA+tOB可以往下寫
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變成(1-t)OA+ktOA=(1-t+kt)OA=(1+kt)-tOA
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（等於是我把-t的這部份拿出來
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=(1+kt)OA-(k/t)OB 而1+kt-(k/t)不必然為1
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http://ppt.cc/zu0D 這四點不一定共線
12/13 23:58, 17F
推
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題目的前提是這四點共線（會導致x+y不必為1）
12/14 00:01, 18F
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剛才只是把1-t+kt的-t拿出來 你也可以把0.5拿出來
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12/14 00:02, , 20F
其實也不用想得這麼複雜吧...假設OP OA OB都同方向
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12/14 00:02, , 21F
變成(0.5+kt-t)OA+0.5OA OA帶回OB又會有不同結果 XD
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了解了，謝謝^^ ※ 編輯: linijay 來自: 61.62.110.112 (12/14 00:03)
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12/14 00:02, , 22F
OP長度想成是6 OA長度想成1 OB長度也是1 這樣就好了?
12/14 00:02, 22F
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12/14 00:03, , 23F
或是OB想成長度是2 也可以... 化簡可得 6=x+2y
12/14 00:03, 23F
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12/14 00:07, , 24F
原PO推導的過程是在算ABP三點共線的性質而非題目要的
12/14 00:07, 24F
推
12/14 00:08, , 25F
這題要強調的就是OAOB不平行才有共線定理
12/14 00:08, 25F
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12/14 00:08, , 26F
如果平行的話OA OB就可以相互取代～
12/14 00:08, 26F
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01/02 15:37, 7年前 , 27F
變成(1-t)OA+k https://noxiv.com
01/02 15:37, 27F
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07/07 11:43, 6年前 , 28F
而且k t毫無關係 https://noxiv.com
07/07 11:43, 28F
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