Re: [代數] 關於S_p^2以及S_2p的Sylow p_subgroup
※ 引述《vincentflame (vincent)》之銘言：
: 想請教一下困擾已久的代數問題:
: 1.假設p為質數.要如何計算出S_(p^2)這個symmetric group的Sylow p-subgroup的個數呢
: ?
: 2.假設p為奇質數(亦即p是不為2的質數).要如何計算出S_(2p)這個symmetric group的
: Sylow p-subgroup的個數呢?
: 小弟知道這些Sylow p-subgroup的生成方式了,感覺用排列組合的方法可以算得出來,但一
: 直卡在可能重複的部分,請問要如何化解呢?謝謝!
(對不起，剛剛想錯了。故前文自刪。)
S_{2p} 的 p-Sylow 子群的 order 是 p^2.
當 p 為奇質數時，S_{2p} 中沒有 order 是 p^2 的元素。
所以 S_{2p} 的 p-Sylow 必同構於 Z/pZ * Z/pZ.
也就是說，a, b 各是一個 p-cycle, 且沒有用到相同的數字。
所以這樣的子群共有：
f(p) = C(2p,p) * [ (p-1)!/(p-1) ]^2 / 2 = C(2p,p) * [(p-2)!]^2 / 2 個。
例： f(3) = 10, f(5) = 4536, f(7) = 24710400.
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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