Re: [代數] 一個finite field的問題
※ 引述《bajifox (嘖)》之銘言：
: 想請問在F_p[x]中degree為n的irreducible polynimial有幾個
: (F_p為order為p的finite field)
: 試了好一會兒還是不得要領
: 謝謝
為了方便討論, 我只先計算首項係數為 1 (monic) 的 irreducible 多項式
令 N(d) 表示 degree d 的 monic irreducible polymonial 個數
我們知道當 d | n 時, f(x) 是 monic irreducible polynomial of
degree d <=> f(x) | (x^{p^n} - x)
也就是說 x^{p^n} - x 會分解成所有 degree 整除 n 的 monic irreducible
polynomial 乘積:
Πf(x) = x^{p^n} - x
d|n
f(x): monic
irreducible
比較兩邊的 degree, 我們就得到
Σd N(d) = p^n
d|n
apply Mobius inversion formula 就解出
1
N(n) = --- Σμ(d) p^{n/d}
n d|n
μ是 Mobius function.
以上的討論中把 F_p 換成任意 finite field F_q 也可以~
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