[微積] 證明極限存在的邏輯問題

看板Math作者時間12年前 (2013/10/12 20:17), 編輯推噓3(3推 0噓 34→)
留言37則, 6人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
為了方便起見，以下的極限均為x→c 題目 若 lim f(x)=L≠0 且 lim[f(x)g(x)]=1 請問lim g(x)是否存在? Sol 設lim g(x)=M 存在 則lim[f(x)g(x)]=limf(x)*limg(x)=L*M=1 所以limg(x)=1/L 存在 這樣的證明在邏輯上會不會有問題? 我總覺得假設它存在，然後用它存在的性質證明出它存在會怪怪的?! 但是又發現很多題目常常利用這樣的方法去求答案。 例如 f(x)={Ax ,for x<1 {x^2,for x≧1 find the value A s.t. f(x) is continuous at 1 Sol since f is continuous at 1 lim f(x)=A=1=f(1) x→1- hence A=1 希望版上的大大可以告訴我，證明存在性的時候是否可以直接假設它存在? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 120.114.182.95
推
10/12 20:20, , 1F
那個證明當然有問題阿 你要證它存在
10/12 20:20, 1F
→
10/12 20:21, , 2F
你假設它存在 然後巴拉巴拉 什麼事都沒發生阿
10/12 20:21, 2F
→
10/12 20:21, , 3F
你玩全沒有證明你想要的事情
10/12 20:21, 3F
那要如何看待連續的那題 find the A 可以看成是問 是否存在A讓f連續 但解題過程一樣假設存在A讓f連續
→
10/12 20:24, , 4F
不行
10/12 20:24, 4F
→
10/12 20:35, , 5F
題目 "假如f連續的話，那A應該是多少才對?"
10/12 20:35, 5F
→
10/12 20:36, , 6F
所以只是順著題意去解。這類型通常最後步驟是驗算之
10/12 20:36, 6F
所以極限那題如果最後有驗算lim g(x)=1/L 滿足lim[f(x)g(x)]=1 那就會是對的過程囉? 而通常找OOO要滿足某個條件的題目 找到後沒有去驗算其實是不嚴謹的做法?
推
10/12 20:47, , 7F
不不..不是嚴不嚴謹的問題 而是你證的不是題目要的
10/12 20:47, 7F
→
10/12 20:47, , 8F
你證出來的是, 在 lim f=L 且 lim fg = 1 的情況下
10/12 20:47, 8F
→
10/12 20:48, , 9F
"如果極限 lim g 存在, 則 lim g = 1/L"
10/12 20:48, 9F
→
10/12 20:48, , 10F
這跟題目要求的 "證明極限 lim g 存在" 完全不同
10/12 20:48, 10F
事實上 題目是問 lim g 是否存在，若存在則lim g是多少
→
10/12 20:49, , 11F
連續性是他最後得到一個必要條件
10/12 20:49, 11F
→
10/12 20:50, , 12F
接著, "假若 A=..., 那麼可以證出 f 在 1 連續"
10/12 20:50, 12F
→
10/12 20:50, , 13F
"因此 ... 為解"
10/12 20:50, 13F
另外關於C大的 我覺得 "若B條件成立，A是多少?" "若B條件成立，A是否存在，若存在則A是多少?" "求出A 滿足條件B?" 這三種問法雖然意思的重點不同，但是終究是在問有沒有A
→
10/12 20:50, , 14F
所以說, 你最後的驗算, 驗算的東西不對
10/12 20:50, 14F
→
10/12 20:51, , 15F
你要證明的還是 "極限 lim g 存在", 甚至你那樣寫變
10/12 20:51, 15F
→
10/12 20:51, , 16F
成了證明 "極限 lim g 存在且等於 1/L"
10/12 20:51, 16F
→
10/12 20:52, , 17F
最後一個倒是多的了. 要證明這題不需要算出 1/L
10/12 20:52, 17F
→
10/12 20:53, , 18F
"lim" 是動詞
10/12 20:53, 18F
抱歉，我沒有把完整的題目打出來，因為我原本認為那不會是討論的重點> < ※ 編輯: like176 來自: 120.114.182.95 (10/12 20:58)
→
10/12 21:03, , 19F
well, 但是到最後論證中 "lim g 存在" 的假設(前提)
10/12 21:03, 19F
→
10/12 21:03, , 20F
畢竟還是在的XD 這總是要去證明的
10/12 21:03, 20F
→
10/12 21:04, , 21F
其中一個可能的方法就是說,
10/12 21:04, 21F
→
10/12 21:04, , 22F
因為 lim f = L≠0, 所以 lim (1/f) 存在且 = 1/L
10/12 21:04, 22F
→
10/12 21:05, , 23F
因此 lim (1/f) * lim (fg) 存在且..(by lim laws...
10/12 21:05, 23F
→
10/12 21:06, , 24F
證明存在性當然不可以直接假設它存在
10/12 21:06, 24F
→
10/12 21:07, , 25F
譬如，我要證明小叮噹是貓之前我先假設小叮噹是貓...
10/12 21:07, 25F
→
10/12 21:08, , 26F
lim(g) = lim(fg/f) = lim(fg)/lim(f) 這樣就可以了
10/12 21:08, 26F
我知道可以用lim(fg/f)去避開上面那種有問題的方法 我自己也認為上面那種方法是不行的 所以我現在想問的重點變成，有些題目是"找到滿足條件B的A" 在作這種題目時，通常是把條件B拿來用，去解出A就結束了 但如果照上面討論的，其實最後要把A帶回題目看是否滿足條件B? ※ 編輯: like176 來自: 120.114.182.95 (10/12 21:12)
→
10/12 21:08, , 27F
這裡用的是lim的除法規則
10/12 21:08, 27F
→
10/12 21:13, , 28F
不僅要, 而且若只要尋找一個解,
10/12 21:13, 28F
→
10/12 21:13, , 29F
(任何一個), 作為證明甚至可以直接 "當A=..."
10/12 21:13, 29F
→
10/12 21:13, , 30F
則....成立
10/12 21:13, 30F
→
10/12 21:14, , 31F
不過有的可能會想問"找到所有解",那就還要找必要條件
10/12 21:14, 31F
當然通常滿足的解會是不只一個的解集合 那找到所有的解，不就是把條件B當成必要條件去求得A 在這樣的過程下，要嘛A不存在，要嘛A存在 那麼解出來的A的解集合還是會自動滿足題目要得條件B 所以事實上，是不用去驗算的。 那麼把lim g存在當必要條件 如果不存在，解的時候自然會發現沒有滿足lim g的極限值 所以在假設lim g存在的條件下，解出來的1/L必然是滿足題目的lim g且存在 ps 有人知道我癥結點在哪嗎?感覺好像是很蠢的問題ˊˋ 我知道自己是把這兩個不同的題目硬是看成類似的去討論 > < 而且好像還有點串改題意的嫌疑(Q口Q) ※ 編輯: like176 來自: 120.114.182.95 (10/12 21:30) pss 我原本是想說找看看有沒有事實上lim g不存在 但是在假設存在的情況下會推出某個存在的g且推論過程沒有矛盾 但是找不到反例 又想到很多要求某物A類型的題目，也都是直接since 條件B=>...=>A=... ※ 編輯: like176 來自: 120.114.182.95 (10/12 21:37)
推
10/12 21:38, , 32F
你的第一個Sol 沒回答到問題(沒證明任何事)
10/12 21:38, 32F
→
10/12 21:39, , 33F
第二個Sol 的Since要改成Suppose , 解出A=1時
10/12 21:39, 33F
→
10/12 21:39, , 34F
要帶回驗證 f是連續的 就這樣~
10/12 21:39, 34F
→
10/12 21:43, , 35F
同樓上
10/12 21:43, 35F
那就這樣吧，感謝樓上幾位大大花時間解決我的疑惑 ※ 編輯: like176 來自: 120.114.182.95 (10/12 21:51)
→
01/02 15:33, 7年前 , 36F
接著, "假若 A=. http://yofuk.com
01/02 15:33, 36F
→
07/07 11:31, 6年前 , 37F
連續性是他最後得到一個 https://noxiv.com
07/07 11:31, 37F
‣ 更多 like176 的文章
文章代碼(AID): #1IMJtgBR (Math)
‣ 更多 like176 的文章
文章代碼(AID): #1IMJtgBR (Math)