Re: [中學] 圓的幾何證明性質

看板Math作者jetzake (加菲貓)時間12年前 (2013/09/26 03:12)推噓3(3推 0噓 2→)

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※ 引述《dayjay (easonchan)》之銘言： : 設兩圓內切於P點，AB、 CD 分別為二圓的直徑，且，A與C位在二圓連心線的同側， : 證明：P、C、A三點共線。 : 看起來很直觀的結論 : 常常遇到證明的題目就很不知道怎麼切入 ~"~ 請高手賜教

推

XII

先來張圖... http://i.imgur.com/PnVGGRp.jpg

不失一般性假設此兩圓不同大小 (兩圓大小相同時可以直接推翻題目設定) A、B在大圓上C、D在小圓上大圓圓心為O1 小圓圓心為O2 連接PA、PC PA與CD延伸直線交點訂為C'(如上圖) ∠PO1A = ∠PO2C (AB//CD 同位角相等) 且 O1A:O2C = O1P:O2P (*線段比例) (皆為大圓半徑:小圓半徑) ==> ⊿PO1A～⊿PO2C (SAS相似) ==> ∠PAO1 = ∠PCO2 (相似形對應角相等) 另 ∠PAO1 = ∠PC'O2 (AB//CD 同位角相等) 可推得 ∠PCO2 = ∠PC'O2 ==> PC//PC' ==> PC//PA (直線PC'=直線PA) 但直線PC和直線PA有交點 (就是P點) 可知直線PC和直線PA重合 P、C、A共線如下圖 http://i.imgur.com/x1zWDzS.jpg