[分析] local Lipschitz => global on compact

看板Math作者 (QQ)時間12年前 (2013/09/12 15:34), 編輯推噓2(2推 0噓 10→)
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偶然在ODE的書看到： if f：A → R , A is a subset of R^n and f is local Lipschitz on A then for any compact subset K of A , f is global Lipschitz on K (btw 我猜把R改成R^m也是對的) ---------------------------------------------------------------- 思路： 這問題我一直卡在一件事情 即便設K是convex set 然後x€U1,y€U2 是分別在不同Lip constant C,C'兩集合集合的兩點 而且又假設存在z€ U1交集U2 │f(x)-f(y)│<=│f(x)-f(z)│+│f(z)-f(y)│ <= C│x-z│+ C'│z-y│ 然後又卡住了，因為│x-z│+│z-y│推不出與│x-y│有關的事情 之後我一直google，大多點到為止說：(http://ppt.cc/EUmv) 因為compact所以對於每點取local lip後 存在finite open cover，之後取constant就取這些Lip constant的max 可是這樣有兩個問題 1.compact不一定connected，不一定存在橋梁z點 2.就算有橋梁z點，C│x-z│+ C'│z-y│又過不去 ------------------------------------------------ 之後我有google到一個case：(http://ppt.cc/llkj) if f：R→R is local Lip then f is global lip on every [a,b] 他的證明說用到Lebesgue covering lemma 因為在R的話，可以用covering lemma造出x<x1<x2<...<x_n<y 然後│f(x)-f(y)│<=│f(x)-f(x1)│+...+│f(x_n)-f(y)│ <= C1│x-x1│+ ... + Cn│x_n-y│ ~~~~~~~ ~~~~~~~~ ↓ ↓ x1-x y-x_n 所以這重點在：R^1的時候可以去絕對值！ 所以仿造這個概念的話，最原始的問題可以解決，只要K是compact and convex 但是general的compact就不知道怎麼辦了... 謝謝幫忙！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.230.61.90
推
09/12 17:46, , 1F
│x-z│+│z-y│>=│x-y│ (三角不等式)
09/12 17:46, 1F
→
09/12 19:08, , 2F
可是我是要另外一邊的不等式耶
09/12 19:08, 2F
推
09/14 04:22, , 3F
for all x\in A, have B(x,r_x) on which f is Lip.
09/14 04:22, 3F
→
09/14 04:22, , 4F
cover K by B(i)=B(x_i,r_xi/2), i=1,...,n
09/14 04:22, 4F
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09/14 04:23, , 5F
for any x,y in A, either x,y belongs to the same
09/14 04:23, 5F
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09/14 04:24, , 6F
B(xi,r_xi) or |x-y|≧ 0.5 min{r1,...,rn}
09/14 04:24, 6F
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09/14 04:24, , 7F
接下來應該就很容易了
09/14 04:24, 7F
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09/14 04:25, , 8F
我有假設 K 是 connected
09/14 04:25, 8F
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09/14 04:26, , 9F
好像也不需要 sry
09/14 04:26, 9F
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09/14 04:30, , 10F
但 A 一定要 connected
09/14 04:30, 10F
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01/02 15:31, 7年前 , 11F
我有假設 K 是 co https://daxiv.com
01/02 15:31, 11F
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07/07 11:25, 6年前 , 12F
但 A 一定要 con http://yaxiv.com
07/07 11:25, 12F
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