Re: [代數] sigma-field
※ 引述《star66 (star)》之銘言：
: 初學probability, 老師提到了一點sigma-field,
: 功課裡出了幾題sigma-field的證明，
: 有一個題目沒有頭緒想來問一下大家~~
: F=a sigma-field of subsets of omega
Ω
: suppose B 屬於 F
: Prove: G={A交集B, A屬於F} is a sigma-field of subsets of B
基本上就是用到 F 是sigma-field的特性在做就對了
: 第一步我先說 G nonempty 因為空集合在G裡面
1. 建議你解釋一下為何空集合在G裡
: 接下來要證明G符合第二個條件, closed in compliment
: 和第三個條件, closed in union
: 不知道要如何下手
: 假設 H屬於F, I 屬於F
: 目標是得到H'屬於F, 和H聯集I屬於F (H'指compliment)
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這裡的compliment是相對於B
換句話說，H' = B - H
= B - (AㄇB)
= {x in B | x not in A} (等等用到)
: 如果這樣的假設和目標是正確的，
: 下一步應該怎麼做呢？
: 謝謝~~
2. 對於任意的 H in G => H' in G
因為 H in G, 存在 A in F such that H = A ㄇ B (by G 的定義)
接著，我們要證明存在 D in F such that H' = D ㄇ B, 換句話說, H' in G
因為 F 是 sigma- field而且 A in F => Ω - A in F (其實 Ω - A 就是我們要的 D)
令 D = Ω - A
接著，只要說明 D ㄇ B = {x in B | x not in A} ，這就說明了 D ㄇ B = H'
因為 D ㄇ B = (Ω-A) ㄇ B = {x in B | x in Ω-A} = {x in B | x not in A}
所以 D ㄇ B = H'
又, D in F, 因此, H' in G, 皆大歡喜！
p.s. 可數聯集封閉的證明過程都是類似的集合拆解合併，自己試試看吧！
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