Re: [微積] lim∫f(t,x)dx =?= ∫lim f(t,x)dx

看板Math作者anovachen (　)時間12年前 (2013/09/05 01:30)推噓2(2推 0噓 15→)

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先摘錄上一篇的內容... f(t,x)在此只確定是Riemann–Stieltjes integrable 如果 ∞ ∞ lim ∫ f(t,x) dx = ∫ lim f(t,x) dx t->0 -∞ -∞ t->0 f(t,x)一定要在t=0連續嗎？要怎麼證明lim可以移進去積分裡面？滿足什麼條件下才能這樣做？

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yclinpa

09/02 09:00,

09/02 09:00

--- 某補習班微積分講義的題目：試證明 ∞ ∫(sinx)/x dx = π/2 0 解： 1. ∞ 令F(α)=∫exp(-αx)(sinx)/x dx , α>0 0 F'(α)=-1/(α^2 +1) (過程我暫且省略，抱歉>"<) 2. ∫dF=∫-1/(α^2 +1) dα →F(α)=-arctanα +k lim F(α)=0=-π/2 +k α->∞ →k=π/2 (...以下略，因為不是我問題的重點) 這個解題過程中，用到一個手法： ∞ lim ∫exp(-αx)(sinx)/x dx α->∞ 0 ∞ =∫ lim exp(-αx)(sinx)/x dx 0 α->∞ ∞ =∫ 0 dx 0 但是老師根本沒把為何lim(α->∞)F(α)=0交代清楚... 所以上面那三行是我自己加上去的... 我是想說exp(-αx)(sinx)/x在x不等於零時都是處處連續的(?) 而且對於任意α也都連續？所以可以這樣把lim移進去積分裡面？但我提出的問題，對於任意Riemann-Steljes可積的f(t,x) 是否能這樣把lim移進∫f(t,x)dx裡面，主要是因為我想證明：如果M(t)是機率密度函數f(x)的動差生成函數那麼lim M'(t)=E(X) (期望值) t->0 即使在t=0這一個點上M'(t)沒有定義。 ∞ lim d/dt ∫ exp(tx)f(x) dx t->0 -∞ ∞ =lim ∫ a/at exp(tx)f(x) dx (a代表偏微分符號) t->0 -∞ ∞ =lim ∫ xexp(tx)f(x) dx t->0 -∞ 接下來，若lim可以移進去，則 ∞ =∫ lim exp(tx) xf(x) dx -∞ t->0 ∞ =∫ xf(x) dx -∞ =E(X) 這樣的證明過程只要會大一程度的微積分就夠了... 可是，要怎麼證明lim可以移進去∫裡面阿?? ="= ...還是我應該等有高微的基礎後再來思考進階的機率數統問題... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.255.21.75 ※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.21.75 (09/05 01:32) ※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.21.75 (09/05 01:36)

推

forloricever

09/05 09:20, , 1^F

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yhliu

09/06 19:15, , 2^F

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yhliu

09/06 19:16, , 3^F

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