Re: [代數] 二次函數
※ 引述《jundarn (小眼)》之銘言：
: 設f(x)=ax^2+bx+c (a不為0)
: 若g(x)=-f(100-x) 且g(x)之圖形包含f(x)之頂點
: 其中f(x)及g(x)與x軸交點 x1<x2<x3<x4 且x3-x2=150
: 求x4-x1=?
: 同事問的~聽說是競賽試題 嘗試從根與係數下手但很卡 求解~~謝謝
可以思考一下g(x)和f(x)的圖形關係。
原函數 f(x)
往左平移100 f(x+100)
對x=0鏡射 f(-x+100) 這兩個變換相當於對x=50鏡射
對y=0鏡射 -f(-x+100)=g(x) 新函數
看得出來這個變換相當於對x軸上的某個點(50,0)做180度的翻轉。
再來看題目給的條件和要求的東西
可以發現其實對哪個點做翻轉根本不會影響答案
（把f(x)和g(x)同時向左向右平移不會影響這四個點的相對位置）
那我們不如一開始就假設這個變換是對原點翻轉，計算上會簡單許多
令f(x) = a(x-h)^2+k，頂點(h,k)翻轉後的頂點(-h,-k)也落在原圖形上，得
f(-h) = 4ah^2+k = -k ==> k = -2ah^2代回原式，再因式分解得
f(x) = a[(x-h)^2-2h^2] = a(x-h-√2 h)(x-h+√2 h)
可看出f(x)和x軸交於(1+√2)h和(1-√2)h兩點
由於g(x)和f(x)對原點對稱，所以交點也只是加個負號，由對稱性可知離原點較近的交點
(1-√2)h = 150/2 = 75 （正負號無所謂，最後只取距離而已）
故所求為"另一個交點離原點的距離的兩倍"
= 2 |(1+√2)h| = 150(√2+1)/(√2-1) = 150(3+2√2)
簡單來說，只要知道
(x4-x1)/(x3-x2) = (√2+1)/(√2-1)
這個關係式，再把數字代進去就好了。
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