[其他] 極值問題

看板Math作者 ( )時間10年前 (2013/07/06 16:20), 編輯推噓1(1推 0噓 21→)
留言22則, 6人參與, 4年前最新討論串1/2 (看更多)
想請教有一個關於極值問題的簡單猜測: 已知 x1 + x2 = a (一定值)，欲求 S = f(x1)+ f(x2) 的極值 至少發生在 x1 = x2 = a/2 之處 原因是 f'(x) + f'(a-x)(-1) = 0 -> f'(x) = f'(x-a) 故至少在 x = a-x 符合極值條件 想請問 (a)上述猜測跟理由是否正確? (b)如果f(x)有單調遞增的條件，可否推論出此極值唯一? 或者什麼條件下可以唯一? 或者沒有必然狀況? 十分感謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.116.1.134
推
07/06 19:52, , 1F
f不一定可微分。
07/06 19:52, 1F
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07/06 19:57, , 2F
先假設f可微分吧。(a)否，微分為0是對的，但無法推論
07/06 19:57, 2F
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07/06 19:58, , 3F
是極值與否。(b)"單調"不能有此推論。凹函數或凸函數
07/06 19:58, 3F
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07/06 19:59, , 4F
可以保證極值唯一。或許還有其他好的簡單條件吧。
07/06 19:59, 4F
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07/06 20:47, , 5F
多謝，應該設定f可微。
07/06 20:47, 5F
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07/06 20:48, , 6F
所以(a)應該附帶檢驗f"(a/2)是否成立極值條件。
07/06 20:48, 6F
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07/07 09:49, , 7F
那你還要多假定f二次可微
07/07 09:49, 7F
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07/07 09:53, , 8F
WLOG, 設 a=1, 原題成 S(x) = f(x)+f(1-x). 顯然 S
07/07 09:53, 8F
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07/07 09:54, , 9F
的圖形對稱於 x=a/2(=1/2). 因此, 除非 S(x) 在該處
07/07 09:54, 9F
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07/07 09:54, , 10F
喔，對了，應該強調"嚴格"凹(凸)函數XD
07/07 09:54, 10F
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07/07 09:56, , 11F
附近亂跳, 否則有相對極值的推想是合理的. 但 f 的
07/07 09:56, 11F
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07/07 09:57, , 12F
單調性並不見得能保證 S(x) 的單峰或單谷, 因此應不
07/07 09:57, 12F
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07/07 09:57, , 13F
保證極值唯一.
07/07 09:57, 13F
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07/07 10:00, , 14F
無極值之例: f(x) = cos(1/x), a=π.
07/07 10:00, 14F
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07/07 10:05, , 15F
上面例子舉錯了!
07/07 10:05, 15F
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07/07 10:09, , 16F
取 f(x)=sin(1/(π/2-x)) 當 x≠π/2; = 0 當 x=π/2
07/07 10:09, 16F
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07/07 10:16, , 17F
上面的例子還是錯...改成 sin(1/|π/2-x|) 吧!
07/07 10:16, 17F
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07/07 10:32, , 18F
f(x) 單調, S(x) 極值不唯一之例:
07/07 10:32, 18F
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07/07 10:33, , 19F
a=2, f(x)=x 當 0≦x≦1; =1+(3/2)ln(x) 當 1<x≦2.
07/07 10:33, 19F
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11/10 12:00, , 20F
附近亂跳, 否則有相對 https://noxiv.com
11/10 12:00, 20F
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01/02 15:28, 5年前 , 21F
f不一定可微分。 https://daxiv.com
01/02 15:28, 21F
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07/07 11:13, 4年前 , 22F
多謝，應該設定f可微。 http://yofuk.com
07/07 11:13, 22F
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