Re: [中學] 102武陵 科學班試題
※ 引述《anous (阿文)》之銘言：
: 1. 已知a為小於2012的正整數，且2012-a與a互質。則滿足條件的a有幾個
(2012-a,a)=(2012,a)=1
2012=2^2*503
故有2012(1-1/2)(1-1/503)=1004個
:
: 2. 設x、y、z為實數，且滿足x+y+z=2及2x^2-yz=4，求xy+yz+zx之最小值。
由yz=2x^2-4及y+z=2-x
可得xy+yz+zx=yz+x(y+z)=2x^2-4+2(2-x)
=x^2+2x-4=(x+1)^2-5
得最小值為-5
: 3. 已知四個互不相等的正實數a、b、c、d滿足
: (a^2013-c^2013)(a^2013-d^2013)=20
: (b^2013-c^2013)(b^2013-d^2013)=20
: 則(ab)^2013-(cd)^2013為何？
這題因為網路上的那份檔案排版有跑掉
從答案推回去我猜原題應該是這樣
(a^2013-c^2013)(a^2013-d^2013)=2013
(b^2013-c^2013)(b^2013-d^2013)=2013
則方程式(x-c^2013)(x-d^2013)=2013有兩根為a^2013,b^2013
乘開整理得x^2-(c^2013+d^2013)+c^2013*d^2013-2013=0
由根與係數關係知a^2013*b^2013=c^2013*d^2013-2013
故(ab)^2013-(cd)^2013=-2013
:
: 4. 從正整數1,2,3,...,n中，刪除某一項x，已知剩下的n-1項的算術平均數為261/10
: ，試求x之值。
速解:
1~n的平均數為(n+1)/2
刪去一個數後應該不會差太多
所以(n+1)/2 ~ 26.1 ，n約為52附近
又(1+2+...n-x)/(n-1)=261/10
故10|(n-1) => 取n-1=50, n=51
則(1+2+..51-x)/50=261/10 => x=21
: 5. 設a<=b為兩個正整數，其最小公倍數[a,b]=8100，則數對(a,b)有幾種？
8100=2^2*3^4*5^2
設a=2^x*3^y*5^z
b=2^p*3^q*5^r
則0≦x,p≦2, 0≦y,q≦4, 0≦z,r≦2
若不計a,b大小順序則有(3^2-2^2)(5^2-4^2)(3^2-2^2)=5*9*5=225種
其中有一種可能是a=b=8100
因此若規定a≦b則有(225-1)/2 +1 =113種
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