Re: [微積] 多變函數極值
※ 引述《BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)》之銘言：
: 101 臺灣大學轉學生入學考試(C)卷
: (4) Use Lagrange Multiplier or any other method to find the
: maximum and minimum of f(x,y)= x^3 + y^3 + 3xy in the closed
: unit disk x^2 + y^2 ≦1
: ---
: 我的想法是多變函數極值考慮邊界內的臨界點與邊界上的值
: 邊界內由 f_x = 0 和 f_y = 0 可解得 (-1,-1) 和 (0,0)
: 前者超出邊界不合, 後者代入判別式為一鞍點.
: 再考慮邊界 x^2 + y^2 = 1 之值
: 由 Lagrange Multiplier 解得 (±1/√2,±1/√2)
: 再代回f(x,y)求值比較大小...
: ----
: 然而坊間解答上利用圓參數解出了 (-0.883,0.469) 和 (0.469,-0.883)
: 過程涉及一個對稱一元四次方程式求解...
: 請問我的想法中是不是漏掉了什麼沒有考慮到?
用Lagrange感覺蠻難寫的
如果是我會這樣寫
3 3
x ＋y ＋3xy
2 2 2 2
＝(x＋y－3)(x ＋y －xy)＋3(x ＋y )
1 2
＝(x＋y－3)[-─(x＋y) ＋1 ]+3
2
1 3 2
＝-─[t －3t ＋t －3]＋3 , where t＝x＋y
2
＿ ＿
√6 √6
然後解得當 t＝1＋── 有極小 , t＝1－── 有極大
3 3
2 2 ＿ ＿
但 x ＋y ＝1 時 -√2 ≦ x＋y ≦ √2
＿ ＿
＿ √6 ＿ √6
而 -√2 ≦ 0 ≦ 1－── ≦ √2 ≦ 1＋──
3 3
＿
√6
所以 x＋y＝1－── 時有絕對極大
3
＿
x＋y＝-√2 時有相對極小
＿
x＋y＝√2 時有絕對極小
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◆ From: 140.112.233.127
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06/15 22:48, , 1F
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推
06/15 23:24, , 2F
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