[微積] 這麼做的嚴謹理由何在？(難)

看板Math作者 (悟道修行者)時間11年前 (2013/05/11 22:39), 編輯推噓7(7推 0噓 34→)
留言41則, 10人參與, 5年前最新討論串1/1
http://ppt.cc/br_g 解法一開始，兩邊同取 ln 函數，然後 blah blah blah 的往下做下去。 我有疑問，兩邊同取 ln，左跟右等式仍相等，但結果上我們完全無法掌握才對。 打個比方，x=4，兩邊同取 f(x)=x^2 這個函數，得 x^2=16。 一開始的方程式的解是 {4}，可是「兩邊同取...」之後的解，是 {4,-4} ，會有增根的問題。 為什麼圖片裡的原文書上可以大膽的兩邊同取ln， 不會改變結構(解集合、ordered pairs)嗎？ 有趣的是， |(x^2-3x-4)/(x^2-7x+9)| <=1， 這種絕對值不等式，如果用 (x^2-3x-4)/(x^2-7x+9) <=1 且 (x^2-3x-4)/(x^2-7x+9)>=-1 來看，要解兩次一元二次不等式，再把解集合取交集才能得原不等式的解，麻煩。 可是如果換個做法，兩邊平方，只要解一個不等式就ok， 而且也不必驗算了，我們確定在這種不等式的左右兩邊同取平方100%不會增根或漏根： (x^2-3x-4)<=(x^2-7x+9)，解出來的解集合是誰，原不等式的解集合就是誰！ 1. 到底我們是怎麼判斷什麼時候同取函數會增根，什麼時候不會呢？ 2. 圖裡的左右同取 ln，背後是什麼理由支撐它？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.25.17.111 ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.17.111 (05/11 22:40)
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05/11 22:45, , 1F
就...是不是iff啊。
05/11 22:45, 1F
我想超久了想不出來@@，可以寫詳細嗎。 X=Y =====> F(X)=F(Y), 有時候要回去判斷 F(X)=F(Y) =====> X=Y ，好像很難耶 另外，為什麼 IFF 的式子就不會增減根，有證明嗎？
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05/11 22:51, , 2F
人家ln有反函數exp，可是平方沒有反函數啊。
05/11 22:51, 2F
所以跟反函數有關嗎？ X = π ===> sin X = sin π <=> sin X = 0 <=> X = 0,π,2π,3π,4π,...(無限解) 真的耶，聞到味道了，真的跟你用什麼f(x)套在兩邊有關 >_< f(x)=x^2 ，二對一，增一個根 f(x)=sinx ，無限對一，增無限個根
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一般而言，有沒有反變換，本來就不是容易的問題，
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05/11 22:53, , 4F
但是對於單變數連續函數我們有一個簡單的準則：單調
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※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.17.111 (05/11 22:59)
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二樓說了...ln有反函數
05/11 22:55, 5F
可是好像也怪怪的， X=4 ，平方無反函數， X^2=16，增根 |x| = 4 ，也兩邊同取無反函數的f(x)=x^2，可是就沒增根耶 是不是跟你本身用誰去套有關？有沒有可能要同時考慮函數的特性跟定義域是誰 那這樣單純講反函數並不太對啊，有沒有更一般化的系統 ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.17.111 (05/11 23:01)
推
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可是你今天是問微分 跟有沒有反函數沒有什麼關係
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先不管微分，先管第一步為什麼可以同取 ln ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.17.111 (05/11 23:03)
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|x|=4這個例子是因為|x|肯定非負，而平方操作當定義
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域限制在非負實數上時，是有反函數的：開根號。
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不太懂跟增不增根的關係
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剛剛是為了方便敘述，所以沒指定"平方"的定義域，
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f = g, f>=0, g>=0 => ln f = ln g 這完全正確
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為何不能取ln?? 對所有大於零的實數都能取ln阿
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然後使用 f'(h(x))h'(x) = ... 之類
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而沒指定定義域的時候"平方"通常是當成定義於實數系
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最後套回去因為 h 有反函數可以代 h^{-1}
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今天你的f定義在R\{2}的所有函數值都是正的
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當然可以取ln
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他的問題是為什麼取ln後不會跑出多餘的結果(增根)。
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你說增不增跟比較接近問 {x | f(x) = c}
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可是這方向是反過來的
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原po你也是，不要搞錯自己的問題！取ln一定可以取，
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這點書上寫得很清楚。
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雖然書上計算寫得不夠好...ln(x-2)應改為ln|x-2|
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05/11 23:11, , 24F
不過也只要改這個而已，剩下的計算都是沒問題的。
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推
05/11 23:50, , 25F
結論：就是要問是否iff。就是要找反函數。
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05/11 23:52, , 26F
至於「函數」必須指定定義域與對應域，參見#1HUA9LTo
05/11 23:52, 26F
推
05/12 01:27, , 27F
因為ln是一個函數所以x=y => lnx=lny
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推
05/12 03:24, , 28F
看看能不能釣到人講 Riemann surface... (期待)
05/12 03:24, 28F
推
05/12 10:53, , 29F
一對一阿
05/12 10:53, 29F
推
05/12 12:43, , 30F
因為取ln時，不同的x,y會送到不同的值；取平方時，不
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同的x,y可能會送到同個值。
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存在有反函數跟1對1是同個意思。
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05/12 12:49, , 33F
經由1-1的函數運算不會增根，是因為你得出的方程式如
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05/12 12:51, , 34F
果有一組解(x,y)，那麼因為此函數有反函數，用反函數
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05/12 12:53, , 35F
對其等式兩邊做運算，會得到一樣的解。(我也講不清楚
05/12 12:53, 35F
推
05/12 18:53, , 36F
這就只是簡單的函數合成而已
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05/12 18:54, , 37F
一個一對一函數跟另一個一對一函數合成還是一對一
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05/12 18:56, , 38F
請往定義域跟值域的關係這方向去思考
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11/10 11:47, , 39F
這就只是簡單的函數合成 https://daxiv.com
11/10 11:47, 39F
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01/02 15:24, 5年前 , 40F
域限制在非負實數上時， https://muxiv.com
01/02 15:24, 40F
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07/07 11:00, 5年前 , 41F
|x|=4這個例子是因 https://moxox.com
07/07 11:00, 41F
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