極限e的序列

看板Math作者LimSinE (r=e^theta)時間11年前 (2013/02/14 22:59)推噓2(2推 0噓 4→)

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熟知： (1+1/n)^n ↑e，(1+1/n)^(n+1)↓e (*) 事實上有 (1+1/n)^(n+1/2)↓e (重點是遞減) 證明：考慮函數 f(x) = (x+1/2) log (1+ 1/x) f'(x) = log (1 +1/x) - (x+1/2)/[x(x+1)] = log (1 +1/x) - 1/2 {1/x + 1/(x+1)} → 0 as x→無限大 f"(x) = -1/[x(x+1)] + 1/2{1/x^2 + 1/(x+1)^2} =1/2{1/x - 1/(x+1)}^2 > 0，故f'↑0，f'<=0，f↓ 請問有沒有不用微積分的方法？ (例如(*)的兩個序列的增減都可用算幾不等式得到) -- r=e^theta 即使有改變，我始終如一。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 219.85.85.77

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nonumber

02/14 23:15, , 1^F

02/14 23:15, 1^F

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suhorng

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推

herstein

02/15 00:43, , 3^F

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