Re: [線代] 對稱矩陣特徵向量
※ 引述《AQmike (AQ)》之銘言：
: 請問為何對稱矩陣的特徵向量都是正交的呢？
: 謝謝～
通常這件事情會先強調eigenvalue nondegenerate
以下是物理式的討論ˊ_ˋa
假設這邊討論的都是實數， |x〉這是一個column vector
〈x|這是一個row vector
設|n〉是一個eigenvector eigenvalue 是 E_n
〈n'|An〉= E_n 〈n'|n〉
T
=〈A n'|n〉= E_n'〈n'|n〉
(E_n'- E_n)〈n'|n〉= 0
所以〈n'|n〉= 0
如果有degenerate的情況，一般相信用Gram-Schmidt 可以組出基底
如果是complex，則要考慮 Hermitian
可以先證明 eigenvalue real再證明正交。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.25.105
如果complex，用 + 代表Hermitian conjugate ， *代表complex conjugate
〈n|An〉= E_n〈n|n〉
+ [ + ]* * *
=〈A n|n〉=[〈n|A n〉] = 〈n|An〉 = E_n 〈n|n〉
[ ]
所以eigenvalue real
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.25.105 (01/16 16:58)
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.25.105 (01/16 17:01)
推
01/16 18:50, , 1F
01/16 18:50, 1F
推
01/16 23:53, , 2F
01/16 23:53, 2F
推
01/17 05:26, , 3F
01/17 05:26, 3F
→
01/17 05:27, , 4F
01/17 05:27, 4F
→
01/17 05:28, , 5F
01/17 05:28, 5F
→
01/17 05:29, , 6F
01/17 05:29, 6F
沒錯，謝謝補充！
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.25.105 (01/17 13:17)
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：
線代
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