[線代] 對稱矩陣特徵向量

看板Math作者 (AQ)時間13年前 (2013/01/16 16:35), 編輯推噓2(2推 0噓 16→)
留言18則, 5人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
請問為何實對稱矩陣的特徵向量都是正交的呢？ 謝謝～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.251.154 ※ 編輯: AQmike 來自: 140.112.251.154 (01/16 16:54)
推
01/16 16:59, , 1F
01/16 16:59, 1F
→
01/16 21:17, , 2F
因為用標準基底和內積來看 它是self-adjoint
01/16 21:17, 2F
→
01/16 21:18, , 3F
假設v是eigenvector, v的orthogonal一定是invariant
01/16 21:18, 3F
→
01/16 21:18, , 4F
拿invariant subspace出來就能繼續拆
01/16 21:18, 4F
→
01/16 21:19, , 5F
其實概念很簡單 不需要硬記證明
01/16 21:19, 5F
→
01/16 21:43, , 6F
要證明有real eigenvalue, |λ|=sup_{|v|=1}|Tv|
01/16 21:43, 6F
→
01/16 21:44, , 7F
找到一個 |v|=1, 使得|Tv| = λ
01/16 21:44, 7F
推
01/16 22:01, , 8F
修正 eigenvector |λ|=sup_{|v|=1}<Tv,v>
01/16 22:01, 8F
→
01/16 22:02, , 9F
找到 |v|=1, 使得<Tv,v>= |λ|
01/16 22:02, 9F
→
01/16 22:03, , 10F
<T(u+tv), u+tv> / |u+tv|^2對t微分取t=0之後要=0
01/16 22:03, 10F
→
01/16 22:04, , 11F
整理一下會發現<Tv-|λ|v, u>=0對所有u
01/16 22:04, 11F
→
01/16 22:04, , 12F
證明有real eigenvector這個部分就比較麻煩一點
01/16 22:04, 12F
→
01/16 22:11, , 13F
感謝樓上兩位大大的回答！
01/16 22:11, 13F
→
08/13 17:24, , 14F
證明有real eig https://noxiv.com
08/13 17:24, 14F
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09/17 15:18, , 15F
整理一下會發現<Tv- https://daxiv.com
09/17 15:18, 15F
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11/10 11:20, , 16F
感謝樓上兩位大大的回答 https://muxiv.com
11/10 11:20, 16F
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01/02 15:15, 7年前 , 17F
拿invariant https://muxiv.com
01/02 15:15, 17F
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07/07 10:33, 6年前 , 18F
//ppt.cc/yh https://noxiv.com
07/07 10:33, 18F
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