Re: [問題] 工學院的PDE跟數學系的PDE有甚麼差?

看板Math作者herstein (翔爸)時間13年前 (2012/12/23 05:05)推噓12(12推 0噓 5→)

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※ 引述《a88241050 (再回頭已是百殘身)》之銘言： : 我現在有修工學院的PDE : 因為之前修過系上開的微分方程 : 工學院的PDE大致上對我來說沒甚麼問題 : 教授也說只要有微分方程的基礎就可以修 : 而我們數學系也有開PDE的課程 : 但是是開在研究所的... : 聽說修數學系的PDE需要高微和複變等等分析的基礎 : 高微可說是我的罩門,想當初重修後才低空飛過 : 不知道數學系開的PDE到底是比工學院的PDE難多少? : 竟然還需要分析的先備知識 : 有人能幫忙解惑嗎? : 3Q PDE在大學的Level主要的內容差別並不大，但細節可能會因為老師不同，差異會很大。在大學Level的PDE主要還是教怎麼解，從分類PDE開始，特徵法解一些PDE，接著主要三種elliptic: Laplace算子，Parabolic: heat equation, Hyperbolic: wave equation。但在台灣數學系大學部開 PDE課的可能比較少，通常都是開導論而已。雖然講的內容可能差不多，由於數學系的分析基礎比較多，就可能會證明為何積分是收斂，和是收斂。因為通常PDE的解的表示主要以級數或積分為主，要驗證得到的東西是解，必須要證明積分or級數和與微分是可以互換。通常非數學系的科系的PDE，通常不管這麼多，先微分去驗證所得到的是微分方程的解了再說。而因為 PDE的類型不同，所使用的方法也很不同。研究所的PDE會引入Sobolev空間，也就是為了研究PDE的解的空間。通常非數學系的PDE通常找到解之後其他都不管了，不管PDE解的regularity 是如何(可微分?或者是片段可微分?或是在某種意義下可微?)理由還是那句老話找到"解"之後不管三七二十一都給他微了。通常也把Dirac函數當函數來作。通常PDE都是透過構造某種泛涵之後，利用泛涵的特質，得到PDE的弱解。也就是某種distribution意義下的解。如果能夠得知這方程的解具有高程度以上的光滑性值，那麼在"古典意義下"，他就是解。通常橢圓方程的解都具有這種特質。例如:如果△ f=0 (在分配意義下)，那麼f必定是光滑函數(Weyl regularity)。而更重要的是我們希望處理的PDE通常都是非線性的，如果可以找到解，表示我們很幸運，通常90%以上的非線性PDE有沒有解都有問題。所以PDE 裡面首先要知道是不是有解，接著是否解唯一。很多時候你就是必須處理解的存在性問題。有了"解"之後就是光滑性了。在PDE中，還有一些相當重要的嵌入定理。這些嵌入定理主要是為了處理方程的解的光滑性。(這些嵌入定理主要是一些不等式。)所以我們就必須常用到實分析中常用到的一些不等式，這些不等式可以讓我們知道函數空間如何的去嵌入到另外一個函數空間。(讓我姑且通稱他們為Sobolev inequality 或是Sobolev embedding) 雖然我講得很短，但是其實這些內容相當豐富。數學系跟其他科系處理問題的方式相當不同，所以要學好PDE是必須要具備一定程度的分析學知識才有辦法。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 109.65.52.19

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panruru1224

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thisday

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a88241050

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