[微積] 1/x從-1積到2的積分問題

看板Math作者 (鹼性椅子水)時間13年前 (2012/12/05 12:20), 編輯推噓6(6推 0噓 78→)
留言84則, 8人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
想請問觀念問題 1/x 從-1積到2的答案會是多少? 我們分成兩派 1. 1/0 不存在 所以此積分不存在 答案1:不存在 2. ln2-ln(|-1|) = ln2 答案2:ln2 想請問哪個是正確的 感謝!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.118.106.69
推
12/05 12:32, , 1F
1. 兩塊面積不能對消
12/05 12:32, 1F
推
12/05 12:41, , 2F
Cauchy Principal Value
12/05 12:41, 2F
→
12/05 12:41, , 3F
都對 看你定義而已 但你想一個告訴你算得出來 一個告
12/05 12:41, 3F
→
12/05 12:42, , 4F
訴你算不出來 這樣哪個比較實用?
12/05 12:42, 4F
推
12/05 13:20, , 5F
要用瑕積分來看 答案是不存在
12/05 13:20, 5F
→
12/05 13:24, , 6F
(1) 不存在, 但理由不是因為 1/0 不存在.
12/05 13:24, 6F
→
12/05 13:25, , 7F
(2) 即使引用 "Cauchy 主值" 的觀念,所列算法也不對!
12/05 13:25, 7F
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12/05 13:26, , 8F
引用 ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a) 公式, 必須確定
12/05 13:26, 8F
→
12/05 13:27, , 9F
F(x)+C, C 是積分常數, 是 f(x) 的所有反導數.
12/05 13:27, 9F
→
12/05 13:27, , 10F
但 1/x 在跨越 0 的區間, 反導數是不存在的. 它的反
12/05 13:27, 10F
→
12/05 13:28, , 11F
導數分別存在於 (0,∞) 及 (-∞,0), 分別是 ln(x)+C1
12/05 13:28, 11F
→
12/05 13:29, , 12F
與 ln(-x)+C2, 注意 C1, C2 都是任意的, 兩者不相干.
12/05 13:29, 12F
→
12/05 13:30, , 13F
如果把同樣算法套用於 ∫_[a,b] 1/x^2 dx 就知道錯誤
12/05 13:30, 13F
→
12/05 13:30, , 14F
套用公式會產生什麼矛盾結果了!
12/05 13:30, 14F
→
12/05 13:32, , 15F
又: 對 profyang 的說法個人以為有待商榷. 固然
12/05 13:32, 15F
→
12/05 13:32, , 16F
Cauchy 主值可以給予這個發散的瑕積分一個結果, 但它
12/05 13:32, 16F
→
12/05 13:33, , 17F
必須小心使用. "不存在" 的結論不見得比不分青紅皂白
12/05 13:33, 17F
→
12/05 13:33, , 18F
給個結果更糟.\
12/05 13:33, 18F
→
12/05 13:34, , 19F
或許, 任意給個結果卻不說清楚這個結果的意義與條件,
12/05 13:34, 19F
→
12/05 13:35, , 20F
比不給結果, 其造成的問題更嚴重!
12/05 13:35, 20F
→
12/05 14:34, , 21F
我覺得舉C_1 C_2也似乎說不太通 首先當成一個積分
12/05 14:34, 21F
→
12/05 14:35, , 22F
很自然取相同的積分常數 就算C_1 不等於C_2 就跟積有
12/05 14:35, 22F
→
12/05 14:36, , 23F
斷點的情況 在有限斷點的情況下 積分值相同
12/05 14:36, 23F
→
12/05 14:36, , 24F
所以矛盾的結果是什麼?可以說清楚嗎?
12/05 14:36, 24F
推
12/05 14:41, , 25F
那個矛盾是在指說直接套用 F(b)-F(a) 公式
12/05 14:41, 25F
→
12/05 14:41, , 26F
不是說 Cauchy 主值
12/05 14:41, 26F
→
12/05 14:43, , 27F
如果說討論的 是在初微通常會給的內容情況下
12/05 14:43, 27F
推
12/05 14:46, , 28F
F(b)-F(a)如果選擇相同常數 就不會有問題 如果要把
12/05 14:46, 28F
→
12/05 14:47, , 29F
x區間分成正與負 那積分常數也不重要 因為兩個區間的
12/05 14:47, 29F
→
12/05 14:47, , 30F
不同積分常數各自F(上限)-F(下限)都會消掉
12/05 14:47, 30F
→
12/05 15:53, , 31F
如果 1/x 在任何區間都有反導數, 當然所有反導數只會
12/05 15:53, 31F
→
12/05 15:53, , 32F
差一個常數. 然而, 1/x 在含有 0 的區間是不存在反導
12/05 15:53, 32F
→
12/05 15:54, , 33F
數的! 它是 "分別" 在 (0,∞) 與 (-∞,0) 存在反導數
12/05 15:54, 33F
→
12/05 15:55, , 34F
這就是為什麼有兩個不相干的積分常數的理由! 因為它
12/05 15:55, 34F
→
12/05 15:55, , 35F
是在兩個分離的範圍各自有一個反導數.
12/05 15:55, 35F
→
12/05 15:56, , 36F
再舉個例子, f(x)=1 當 0≦x<1, =2 當 1≦x≦2, 則
12/05 15:56, 36F
→
12/05 15:57, , 37F
f(x) 在 [0,1), 在 [1,2] 分別有反導數, 依次是
12/05 15:57, 37F
→
12/05 15:58, , 38F
F(x)=x+C1 (0≦x<1) 與 F(x)=2x+C2 (1≦x≦2), 但
12/05 15:58, 38F
→
12/05 15:58, , 39F
不是 F(x) = x+C 0≦x<1, =2x+C, 1≦x≦2. 因此,
12/05 15:58, 39F
→
12/05 15:59, , 40F
此例 f(x) 在 [0,2] 的定積分必須分段計算才能套公式
12/05 15:59, 40F
→
12/05 16:00, , 41F
若直接套後者 (在 [0,2] 用同一個 C 的 F(x)), 結果
12/05 16:00, 41F
→
12/05 16:00, , 42F
很明顯是錯的.
12/05 16:00, 42F
→
12/05 16:52, , 43F
但是現在問的是1/x 這是對稱的 y說的是不對稱的
12/05 16:52, 43F
→
12/05 16:53, , 44F
對稱的特殊情況下 使用相同C一 樣會有問題嗎?
12/05 16:53, 44F
→
12/05 16:54, , 45F
積分跨越斷點是真的會有問題 但是在對稱情況下 不是
12/05 16:54, 45F
→
12/05 16:54, , 46F
就沒這種問題?
12/05 16:54, 46F
→
12/05 16:56, , 47F
S1/x dx = ln|x|+C 左右兩區間ln(-x)+C x<0 和 ln(x)
12/05 16:56, 47F
→
12/05 16:58, , 48F
+C x>0 在x=0似乎可以接上去
12/05 16:58, 48F
→
12/05 16:59, , 49F
所以我的意思是 如果按照你舉的例子 我只要另C_1-C_2
12/05 16:59, 49F
→
12/05 17:00, , 50F
=1就可以順利直接積跨越斷點的積分 排除掉斷點問題
12/05 17:00, 50F
推
12/05 17:03, , 51F
謝謝yhliu 我大概了解你的意思
12/05 17:03, 51F
→
12/05 17:05, , 52F
可是就像我前面說的 適當調整C_1 C_2讓積分後函數連
12/05 17:05, 52F
→
12/05 17:05, , 53F
續 就可以把有問題的點當作正常點來看 這樣有錯嗎?
12/05 17:05, 53F
→
12/05 18:03, , 54F
你沒弄清楚問題所在, 其實也是因為沒弄清楚套用微積
12/05 18:03, 54F
→
12/05 18:03, , 55F
分公式的道理所在. ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a) 這
12/05 18:03, 55F
→
12/05 18:04, , 56F
公式所以能用, 是因 f(x) 在 [a,b] 有反導數, 雖然
12/05 18:04, 56F
→
12/05 18:04, , 57F
反導數不唯一, 但它們之間相差一個常數. 而如果這條
12/05 18:04, 57F
→
12/05 18:05, , 58F
件不成立, 例如 1/x 在 [-1,2]-{0}, 或我舉的例子,
12/05 18:05, 58F
→
12/05 18:06, , 59F
雖然也可以說 F(x)=ln(|x|)+C 是 1/x 在 [-1,2]-{0}
12/05 18:06, 59F
→
12/05 18:07, , 60F
的反導數之一, 或 F(x)=x+C 0≦x<1, =2x+C, 1≦x≦2
12/05 18:07, 60F
→
12/05 18:07, , 61F
在我那個例子是 f(x) 的反導數之一, 但那只是 "之一"
12/05 18:07, 61F
→
12/05 18:08, , 62F
而不是 "全部". 就 "全部" 而言, 1/x 在 [-1,2],
12/05 18:08, 62F
→
12/05 18:09, , 63F
或所舉之例 f(x) 在 [1,2] 都不存在反導數的; 而就剔
12/05 18:09, 63F
→
12/05 18:10, , 64F
除 F(x) 不可微之點來考慮, 那個共同 C 的 F(x) 不是
12/05 18:10, 64F
→
12/05 18:10, , 65F
"所有" 反導數的形式, 是個別的積分常數 Ci 才是.
12/05 18:10, 65F
→
12/05 18:11, , 66F
就第二個例子而言, 適當調整 C1, C2 使 F(x) 在 x=1
12/05 18:11, 66F
→
12/05 18:12, , 67F
連續, 這樣的 F(x) 套入定積分公式仍然是對的; 而就
12/05 18:12, 67F
→
12/05 18:13, , 68F
1/x 之例而言, F(x)=ln(|x|)+Ci 無法調整 C1, C2 使
12/05 18:13, 68F
→
12/05 18:14, , 69F
F(x) 在 x=0 連續, 因此無論怎麼套用都會出問題.
12/05 18:14, 69F
→
12/05 18:14, , 70F
考慮 1/x^2 在包含 0 的區間的積分, 可以更明顯地看
12/05 18:14, 70F
→
12/05 18:14, , 71F
出這個問題.
12/05 18:14, 71F
→
12/05 19:22, , 72F
謝謝 我想想看
12/05 19:22, 72F
→
12/05 19:53, , 73F
我早先沒把你說的意思看清楚. 如果你說的就是調整
12/05 19:53, 73F
→
12/05 19:54, , 74F
C1. C2 而能使 F(x) 在積分區間是一個連續函數, 就像
12/05 19:54, 74F
→
12/05 19:55, , 75F
後來我說的那樣, 那麼我相信是對的. 不過這也是先承
12/05 19:55, 75F
→
12/05 19:56, , 76F
認了 f(x) 在 [a,b] 需分段才會有定義上的 "反導數",
12/05 19:56, 76F
→
12/05 19:57, , 77F
對計算而言實際上可能不實用. 實際上這時的 F(x) 就
12/05 19:57, 77F
→
12/05 19:57, , 78F
是 ∫_[a,x] f(t) dt.
12/05 19:57, 78F
→
12/06 07:57, , 79F
對 我的意思就是那樣
12/06 07:57, 79F
→
08/13 17:18, , 80F
對稱的特殊情況下 使用 https://noxiv.com
08/13 17:18, 80F
→
09/17 15:12, , 81F
+C x>0 在x=0 https://daxiv.com
09/17 15:12, 81F
→
11/10 11:06, , 82F
除 F(x) 不可微之 https://muxiv.com
11/10 11:06, 82F
→
01/02 15:10, 7年前 , 83F
如果說討論的 是在初微 http://yofuk.com
01/02 15:10, 83F
→
07/07 10:20, 6年前 , 84F
很自然取相同的積分常數 http://yaxiv.com
07/07 10:20, 84F
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