[線代] 投影矩陣模型適和度問題 (贈1200P幣)
這裡有一題投影矩陣的問題向各位請教:
各位可在板上回文 或是將想法解法寄到我信箱 或是寄信來討論也可
第一位完整說明的版友我會贈(稅前)1200P幣表達我的謝意
其他熱心的版友 則是(稅前)600P (每一位)
請各位多多幫忙 有任何不符板規的地方請告訴我 我會自刪
期限是明日早上10:00之前 在期限之後跟我說明的版友一律是每一位(稅前)300P
麻煩各位了
已知平面上有n個相異點，且少有兩個點的X座標不同。假設他們的座標分別為(Xi, Yi),
i=1,2,…,n，其中n2。今假設兩模型如下:
拋物線模型 X1β1=Y 直線模型 X2β2=Y
其中X1=[1,1,.........,1 X2=[1,1,...,1 Y=[y1,y2,...,yn]^T
X1,X2,......,Xn X1,X2,.,Xn]^T
X1^2,X2^2,..Xn^2]^T
以及β1=[a,b,c]^T ，β2=[d,e]^T
請注意 ^T是轉置矩陣的意思
X1是一個n*3矩陣，X2是一個n*2矩陣，Y是一個n*1矩陣，
β1是一個3*1矩陣，β2是一個2*1矩陣
令H1是用X1所建構的投影矩陣，H2是用X2所建構的投影矩陣。假設我們使用最小平方法去獲得兩模型各自的參數估計，請回答下列問題。
1. 請證明直線模型的殘差總和以及拋物線模型的殘差總和必定皆為零。
(Hint: i=e^T × 1n where 1n = (1,1,…,1)^T ) ※ T次方是轉置矩陣的意思
2. 請證明直線模型的殘差平方和減去拋物線模型的殘差平方和等於
Y^T(H1-H2)Y ※ T次方是轉置矩陣的意思
3. 請證明H1H2=H2以及H2H1=H2。
4. 請證明H1-H2為一良好定義的投影矩陣。
5. 請證明 Y^T(H1-H2)Y必定大於等於零
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推
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