Re: [幾何] 四面體不等式
※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 設a,b,c,d,e,f為一個給定四面體的稜長，S為此四面體的表面積，試證
: S<=(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)(sqrt(3))/6
: 想了好久 希望有高手能給點提示 謝謝
D
∕﹨╲
∕ ﹨ ╲
∕ ﹨╱C
A——— B
由海龍公式:
三角形三邊長為a,b,c:
s=(a+b+c)/2
面積=(s(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)
=(3)^(1/2) ((s/3)(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)
(由算幾不等式:)
s/3+s-a+s-b+s-c
≦(3)^(1/2) (-----------------)^2
4
a+b+c
= (3)^(1/2) (----------)^2
6
(3)^(1/2)
= ----------- (a+b+c)^2
36
(由柯西不等式:)
(3)^(1/2)
≦ ----------- 3 (a^2+b^2+c^2)
36
(3)^(1/2)
=--------- (a^2+b^2+c^2)---------------(*)
12
因此表面積S=S_1+S_2+S_3+S_4
(S_1,S_2,S_3,S_4 均用(*)替換)
(3)^(1/2)
≦--------- (2(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2))
12
(3)^(1/2)
≦-------- (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)
6
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