Re: [分析] 無窮遠處的留數(殘值) 複變分析
※ 引述《rilak1314 (與未來共舞)》之銘言：
: 1
: ──
: 2
: z
: (z-1) e 1
: I= ∮ ──────────── dz *(───)
: C z-a 2πi
: find I ,where a =/= 0 and C is any counterclockwise
: simple closed curve enclosing the points z = 0 and z = a.
: ANS : a-1
我想題目的指數部分應該是 Exp[ 1 / (z^2) ]
而且我也不知道 Exp[ z^(1/2) ] 要怎麼做
: 請問這題為什麼要用無窮遠處的留數去解?
: (f(z)對z → 無窮遠處展開)
: Z = a 是否為這題單極點
: Z = 0 " " " "本性奇點 這樣對嗎?
這樣一來singular point 就只有 z=a (pole)
z=infinity (pole)
跟 z=0 (essential singularity)
如果要求把 z=0 跟 z=a 包起來的 contour integral
因為包了一個essential singularity, 其實是不知怎麼下手的
但是作個變數變換 z = 1/u
原本的 contour integral
就變成了
1/u - 1
integral ----------- exp[-u^2 ] (-1)/u^2 du
1/u - a
1. 原本被 contour 包起來的 z=0(u=infinity) 跟 z=a(u=1/a),
現在反而在 contour 外面,
反之被包起來的是 z=infinity(u=0)
2. 原本是逆時針的 contour,
由於這個變數變換變成了順時針 (想一下為什麼吧 :) )
綜合以上兩點, 就變成了求
上面那個integrand 在u=0 的 residue, 再乘上一個負號。
又, 把integrand針對u=0展開
(1 - u) / (1 -au) * exp(-u^2) (-1)/u^2
= (1-u) (1 + au + a^2 u^2 + O(u^3)) (1 - u^2 + O(u^4)) (-1)/u^2
可由此輕易推出 u^(-1) 之係數, 即 integrand 在 u=0 之 residue.
: -----------------------------------------
: 另外請問像是
: z^(1/2)
: f(z)= ────────
: z[(z^2)+1]
: 這樣分支點是否除了0以外 正負i也都是分支點嗎?
: 不好意思 小弟真的狂翻複變還是有些地方不清楚
: 希望高手幫忙解惑 如有違規或看不懂得再跟小弟說吧>"<
是的 這個例子裡總共四個 branch point,
0, infinity, +i, -i
※ 編輯: timpanii 來自: 114.36.0.92 (11/06 06:18)
推
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