Re: [微積] 積分因子的求法?
※ 引述《yapboy (牙ㄆ)》之銘言：
: 目前小弟碰到一題題目 好像是要用積分因子去解的
: 就像是M(x,y)dx+N(x,y)dy =0不是個恰當微分方程需乘上一個u(x,y)使得
: M(x,y)u(x,y)dx+N(x,y)u(x,y)dy =0
: 可是我做到現在還是想不透要怎樣去把他找出來 比較麻煩的就比較沒輒了
: 我遇到的題目如下:還請大家幫我依下
: dy/dx + k‧y = r‧j‧e^(-r‧x) k r跟j都是已知的常數 要如何利用積分因子求算呢?
: 最後得到的答案是:
: d(y‧e(kx))/dx = r‧j‧e^((k-r)x)
: 我知道去算的第一步是把k‧y移項然後把dx乘過去後在整團移項變成Mdx+Ndy=的式子
: 在來要如何找出正確的積分因子~那乘完之後又該如何處理正合微分方程呢??
: 感謝各位了剛學工數不久Q Q
我的建議多複習公式 在練習一下子試題
可以把公式列給你 這題是一階線性額外可以代公式解
y' +p(x)*y =Q(x)
p(x)=k ; Q(x)=r‧j‧e^((k-r)x)
y= e^(-∫p(x)dx) *{∫Q(x) * (e^∫p(x)dx) dx +C}
積分因子為 e ^(∫p(x)dx)
通常有4種 主要用前2種居多
M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 為了方便以M ,N
主要先算出 G= {δM/ δy - δN/δx } δ偏微分
以G簡化式子
這題 用第一種解
1
1. ------ * G = Φ(x) 積分因子u = e^(∫Φ(x)dx)
N
dy/dx + k‧y = r‧j‧e^(-r‧x)
{r‧j‧e^(-r‧x) -k‧y}dx -dy =0
G = {δM/ δy - δN/δx } = -k -0 =-k
G/N =k 積分因子u = e^kx
e^kx‧y' + e^kx‧k‧y = e^kx‧r‧j‧e^(-r‧x)
e^kx‧y' + (e^kx)' ‧y = e^kx‧r‧j‧e^(-r‧x)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這2項剛好為 微分不動 +不動微分 是乘法公式
d{ e^kx‧y} = e^kx‧r‧j‧e^(-r‧x)
正合有正合作法 就在看書吧
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2. -------------- *G = Φ(y) 積分因子u = e^(-∫Φ(y)dy)
M
G
3 . ---------------- =Φ(x+y) ; 積分因子u = e^(-∫Φ(y+x)d(y+x))
M -N
G
4. ---------------- =Φ(x*y) ; 積分因子u = e^(-∫Φ(y*x)d(y*x))
x*M -N*y
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