Re: [其他] 難!!利用中學已知三角公式證出定理

看板Math作者mack (腦海裡依然記得妳)時間13年前 (2012/10/27 02:56)推噓2(2推 0噓 0→)

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※ 引述《yuh9211 (水桶中勿嘴砲)》之銘言： : 先廢話.. : sin2A=2sinAcosA : 2 2 : cos2A=cos A-sin A : 3 : sin3A=3sinA-4sin A : 3 : cos3A=4cos A-3cosA : 4 : cos4A+isin4A=(cosA+isinA) : 4 3 2 2 3 4 : =cos A+4isin A-6cos Asin A-4icosAsin A+sin A : 4 2 2 4 : ∴cos4A=cos A-6cos A-6cos Asin A+sin A : 3 3 : sin4A=4sinAcos A-4sin AcosA : and conversely : 4 2 2 4 : cos A=cos4A+6cos Asin A-sin A : 2 2 2 : =cos4A+6cos A(1-cos A)-(1-cos A) : 4 2 : 8cos A=cosA+8cos A-1 : =cosA+4(cos2A+1)-1 : Thus : 4 : 8cos A=cos4A+4cos2A+3 : and similary, : 4 : 8sin A=cos4A-4cos2A+3 : 重點來了，問題是如何推導出下面兩個定理 : ∞ n n : Σ C(n,k)coskx=2 cos (x/2)cos(nx/2)-1 : k=1 : ∞ n n : Σ C(n,k)sinkx=2 cos (x/2)sin(nx/2) : k=1 : 編排不好抱歉 : 這題難倒一堆碩士 n n [Σ C(n,k)coskx] + i[Σ C(n,k)sinkx] k=1 k=1 n = Σ C(n,k)*(coskx + isinkx) k=1 n k = Σ C(n,k)*(cosx + isinx) k=1 n = (cosx + isinx + 1) - 1 n = [2cos^2(x/2) + i2sin(x/2)cos(x/2)] - 1 n n n = 2 cos (x/2)[cos(x/2) + isin(x/2)] - 1 n n = 2 cos (x/2)[cos(nx/2) + isin(nx/2)] - 1 n n n n = [2 cos (x/2)cos(nx/2) - 1] + i2 cos (x/2)sin(nx/2) 得證 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.252.199.241

推

yuh9211

10/27 17:40, , 1^F

10/27 17:40, 1^F

推

denken

10/28 19:13, , 2^F

10/28 19:13, 2^F

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