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※ 引述《abbybao (小寶)》之銘言：
: ※ 引述《Sfly (topos)》之銘言：
: : = 1/(w+1/w)+1/(w^2+1/w^2) + 1/(w^3+1/w^3)
: : w satisfies 1+z+..+z^6=0,
: : or z^3+1/z^3 + z^2+1/z^2 + z+1/z + 1 =0 .
: : Let t = z+ 1/z, then
: : t^3 - 3t + t^2 - 2 + t + 1 = 0
: : t^3 + t^2 - 2t - 1 =0.
: -->??????????????????????????
: : thus, 1/(w+1/w)+1/(w^2+1/w^2) + 1/(w^3+1/w^3) = -2/1 = -2.
: 想問一下最後這一步驟
: 是怎麼推的呢?
: 有點看不太懂
: 謝謝^^
有點疑問
1+z+..+z^6=0 的根有 w , w^2 , w^3 , w^4 , w^5 , w^6
其中 w=e^(-j(kπ/3)) ; k=0,1,2,3,4,5
那 z^3+1/z^3 + z^2+1/z^2 + z+1/z + 1 =0 ....(1) 的根可以看成
w^3+1/w^3 + w^2+1/w^2 + w+1/w 嗎?根由6個變成3個
如果令t=z+1/z 帶入(1)式變成 t^3 + t^2 - 2t - 1 =0 ...(2)
這時t的根有 w^3+1/w^3 , w^2+1/w^2 , w+1/w 三個
這時t的根總合是不是就相當於 w^3+1/w^3 + w^2+1/w^2 + w+1/w 相加?
所以如果要求 w^3+1/w^3 + w^2+1/w^2 + w+1/w =?
則由根與系數關係得知 w^3+1/w^3 + w^2+1/w^2 + w+1/w = (-1)/1 = -1 ?
如果要求 (w^3+1/w^3)(w^2+1/w^2)(w+1/w) =?
則由根與系數關係得知 (w^3+1/w^3)(w^2+1/w^2)(w+1/w) = -(-1)/1 = 1 ?
又如果令T= (1/t) = 1/(z+1/z)帶入(2)式變成 T^3+2T^2-t-1=0
這時T的根有 1/(w^3+1/w^3) , 1/(w^2+1/w^2) , 1/(w+1/w) 三個
這時T的根總合是不是就相當於 1/(w^3+1/w^3) + 1/(w^2+1/w^2) + 1/(w+1/w) 相加?
所以如果要求 1/(w^3+1/w^3) + 1/(w^2+1/w^2) + 1/(w+1/w)=? (此題)
則由根與系數關係得知 1/(w^3+1/w^3) + 1/(w^2+1/w^2) + 1/(w+1/w)=(-2)/1=-2
不知道我觀念有沒有錯,這題想了很久,如有錯誤請高手指正,謝謝^^
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.116.240.114
推
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喔喔,前面有地方打錯了^^
※ 編輯: abbybao 來自: 122.116.240.114 (10/08 15:50)
討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 5 之 5 篇)：