[分析] 沒有均勻收斂子列

看板Math作者 (QQ)時間13年前 (2012/09/19 18:27), 編輯推噓10(10推 0噓 23→)
留言33則, 7人參與, 最新討論串1/1
今天看到課本後面的題目 請造一個連續函數列f_n(x)€C[a,b] 且f一致有界 但是f不存在均勻收斂子列 ------------------------- 這例子我知道怎麼造 只是我在想，一樣的條件下，是否造得出f_n(x)不存在"逐點"收斂子列 也就是說是否造的出一串f_n，使得： f_n(x)€C[a,b]，f一致有界，但所有f_n(x)的子列f_n(k)(x)都存在一點c€[a,b]使得 lim f_n(k)(c)不存在 k→inf 試了一段時間試不出來 所以想證一定可以找的到"逐點"收斂子列 目前只知道for all c€[a,b] , f_n(c)有界 by Bolzano-Weierstrass 定理 存在一個收斂子列 f_n(k)(c) 可是這個子列的選取與c有關係 如果c是有限個，只要把f排排站(R^n的B-W的證法) 然後取對角線就可以找到共同的子列了 可是現在c€[a,b] 所以這個方法到這邊就卡住了@@ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.171.13.124
→
09/19 18:50, , 1F
例如f(Xn)= (-1)^n 則f(Xn)= 1 0r -1 as n 極大
09/19 18:50, 1F
→
09/19 18:53, , 2F
我說子列耶@@ 取2n這個子列就有了
09/19 18:53, 2F
推
09/19 19:04, , 3F
照你這樣說乾脆取n=1不就好了
09/19 19:04, 3F
推
09/19 19:08, , 4F
的確有例子是不 ptwise conv. 的
09/19 19:08, 4F
→
09/19 19:09, , 5F
考慮像 sin(1/x) 這種有無限震盪(極大值都是1)的函數
09/19 19:09, 5F
→
09/19 19:10, , 6F
把他叫F claim f_n(x) 都是 F 把某些(可能無限)區段
09/19 19:10, 6F
→
09/19 19:11, , 7F
的"波"上下翻轉的結果 (用語不太精確請見諒)
09/19 19:11, 7F
→
09/19 19:12, , 8F
令 n的二進位表示是 b0 b1 b2 ...
09/19 19:12, 8F
→
09/19 19:13, , 9F
若 bi=1 則將第 i 個"波"翻轉 反之不要翻轉
09/19 19:13, 9F
→
09/19 19:13, , 10F
如此便是一個反例
09/19 19:13, 10F
→
09/19 19:15, , 11F
(因為不可能使每一個波最高點發生處都收斂)
09/19 19:15, 11F
推
09/19 19:21, , 12F
(sorry 我剛剛說可能無限的地方其實都是有限個)
09/19 19:21, 12F
你是說 f_n(x) = sin(1/x) €C(0,1] , for all n (這邊先不care原題要是interval) 然後claim f_n(x)的任何子列都不會是逐點收斂列??? ※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.13.124 (09/19 19:23)
推
09/19 19:27, , 13F
恩... 閉區間的話 要改成 F(x) = x sin(1/x)
09/19 19:27, 13F
可是，Let f_n(k)(x) is a subsequence of f_n(x) hence f_n(k)(x) = sin(1/x) (因為f_n(x)一開始就跟n無關了) 而這個函數處處逐點收斂阿= = 因為k跑到無限大還是一樣是sin(1/x) for all x ※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.13.124 (09/19 19:29)
→
09/19 19:28, , 14F
但 f_n 不完全是 F 喔，要對適當的區間"上下翻轉"
09/19 19:28, 14F
→
09/19 19:29, , 15F
喔喔 我體會一下
09/19 19:29, 15F
→
09/19 19:39, , 16F
x*sin(1/x) = x*(1/x) =1 as x is large
09/19 19:39, 16F
推
09/19 19:49, , 17F
cos nx 行不行? [0,2\pi]
09/19 19:49, 17F
推
09/19 19:52, , 18F
我覺得h大的可行 只是還沒想到證明
09/19 19:52, 18F
→
09/19 19:52, , 19F
n大是不是誤會題目了?
09/19 19:52, 19F
推
09/19 20:05, , 20F
我題目也只看一半XD
09/19 20:05, 20F
→
09/19 20:07, , 21F
h大那個例子就是"不存在均勻收斂子列"的例子
09/19 20:07, 21F
→
09/19 20:07, , 22F
只是好像也可以拿來當我這個問題的例子
09/19 20:07, 22F
→
09/19 20:07, , 23F
不過好難證= =
09/19 20:07, 23F
推
09/19 20:10, , 24F
x*sin(x) maybe OK ,too
09/19 20:10, 24F
推
09/19 21:10, , 25F
sinnx cosnx 都行, 用反證法證明不會有子數列收斂
09/19 21:10, 25F
→
09/19 21:11, , 26F
印象中rudin書上有證明
09/19 21:11, 26F
推
09/20 10:04, , 27F
取 f_n(x)=sin(nx) [a,b]=[0,2\pi]
09/20 10:04, 27F
→
09/20 10:05, , 28F
假設 f_n 有子數列 g_n 逐點收斂到某函數 g
09/20 10:05, 28F
→
09/20 10:07, , 29F
因 |g_n|^2+|g|^2≦1, 由 DCT,∫|g_n-g|^2 dx→0
09/20 10:07, 29F
→
09/20 10:08, , 30F
但 {g_n} 是 orthonormal set, 故無 L^2 limit
09/20 10:08, 30F
→
09/20 10:10, , 31F
`normal'不是很正確 實際上 ║g_n║_2 = √π
09/20 10:10, 31F
→
08/13 17:05, , 32F
令 n的二進位表示是 https://noxiv.com
08/13 17:05, 32F
→
09/17 15:01, , 33F
喔喔 我體會一下 https://daxiv.com
09/17 15:01, 33F
‣ 更多 znmkhxrw 的文章
文章代碼(AID): #1GMPuLdT (Math)