Re: [線代] det(e^A) = e^tr(A)

看板Math作者 (Paul)時間13年前 (2012/07/16 12:15), 編輯推噓6(6推 0噓 7→)
留言13則, 2人參與, 最新討論串2/2 (看更多)
※ 引述《yyc2008 ()》之銘言： : 這是課本的一個小習題 : 課文是用eigenvalue證明 : 這大概是最一般常見的方式 : 但是接著課文中間的習題指定不要從eigenvalue著手 : Prove det(e^A) = exp(tr(A)) directly from : e^A = I + A + A^2/2! + ... = lim (I + A/N)^N : N→∞ : without recourse to the eigenvalues. Calculate det(I+A/N) directly, det(I+A/N)=1 + tr(A)/N + O(1/N^2) det(e^A) → [1 + tr(A)/N]^N → e^{tr(A)} -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 27.147.57.77 ※ 編輯: JohnMash 來自: 27.147.57.77 (07/16 12:17)
推
07/16 12:19, , 1F
感謝 好妙的展開
07/16 12:19, 1F
→
07/16 12:19, , 2F
另外想順便問一下 從級數到lim這個等號有辦法連結嗎?
07/16 12:19, 2F
推
07/16 17:21, , 3F
要用到det是連續函數
07/16 17:21, 3F
推
07/16 17:31, , 4F
所以極限就可以取到矩陣列
07/16 17:31, 4F
→
07/17 12:48, , 5F
謝謝h大 原本我想問的是題目I+A+A^2/2!+..=lim是怎麼
07/17 12:48, 5F
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07/17 12:48, , 6F
來的?
07/17 12:48, 6F
推
07/17 17:52, , 7F
你把矩陣所成的空間看成是n^2維的歐氏空間
07/17 17:52, 7F
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07/17 17:52, , 8F
歐氏空間有距離的概念所以可以定義|a_n-a|
07/17 17:52, 8F
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07/17 17:53, , 9F
你取A_n= I+A+A^2/2+...+A^n/n!
07/17 17:53, 9F
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07/17 17:53, , 10F
你只要證明{A_n}收斂就可以...極限就定義為e^A
07/17 17:53, 10F
推
07/17 17:55, , 11F
高維度歐氏空間的絕對值定義方法跟R^2,R^3的差不多
07/17 17:55, 11F
→
07/17 17:56, , 12F
|(x_1,...,x_N)|=根號x_1^2+...+x_n^2
07/17 17:56, 12F
推
07/18 03:48, , 13F
謝謝herstein大 極限那個有點難想 是先取成ln?
07/18 03:48, 13F
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