Re: [線代] 旋轉矩陣跟一個問題
推 windlike01 :我沒記錯的話,第2題的答案應該是"cos(\pi/101)" 06/28 18:40
推 windlike01 :原提問等價於求 Re J_{100},J_{100} 的 real part,的 06/28 18:45
→ windlike01 :max. eigenvalue. 06/28 18:45
→ windlike01 :其中 J_{100} 是指 100 階的 Jordan block. 06/28 18:47
推 windlike01 :咦...不過我的答案好像和eddieyi版友有出入?! 06/28 18:51
推 windlike01 :令 x_i=sin(i*\pi/101) ,則 Σx_i^2 = 1 06/28 21:39
→ windlike01 :且 Σx_ix_{i+1} = cos(\pi/101) 06/28 21:39
→ windlike01 :至於 cos(\pi/101) 為最大值的證明就比較麻煩 06/28 21:42
推 windlike01 :是我讀論文看到的結果,需要許多觀念的轉換 06/28 21:49
→ windlike01 :還是待版上其他版友若有更簡易的方式再補足吧! 06/28 21:49
推 windlike01 :抱歉,應更正為x_i= (2/101)^{1/2} * sin(i*\pi/101) 06/28 22:12
我不知道J_100的作法是怎樣，不過的確有類似的作法:
假令上移運算為US，則題目所求便是 US(x)‧x的最大值 (on condition |x| = 1)
亦即 x'Ux 的最大值 where U = [ 0 1 0 0 ... 0 ]
[ 0 0 1 0 ... 0 ]
[ 0 0 0 1 ... 0 ]
.
:
[ 0 0 0 0 0 0 1 ]
[ 0 0 0 0 0 0 0 ]
也就是 upper-diagonal 為 1 的矩陣 (對應向量的上移運算)
(x' 代表 x transpose)
亦即要求 (x'Ux)/(x'x)的最大值
U 不對稱，不知道有沒有什麼好的解法，於是可以想辦法把中間的矩陣換成對稱
一個方法就是搭配下移運算: 事實上 DS(x)‧x 的最大值也是題目所求
且發生最大值的 x = [x1 x2 ... x100]' 皆是使極值發生的 x1, x2, ..., x100
於是題目所求可以調整成 (1/2)(LS+DS)(x)‧x 的最大值 (on condition |x| = 1)
亦即
1 x'(U+U')x
--- -----------
2 x'x
的最大值。
今 U+U' 為 real symmetric，於是我們知道其最大值便是max eig value之一半，
且發生之處便是對應的 eigenverctor。
目前我知道有一個比較繁瑣的解法，以及另一個就是直接猜測
猜出所有 eig vec 為 [ ω^m - ω^{-m} ]
[ ω^2m - ω^{-2m} ]
.
:
[ ω^{100m} - ω^{-100m} ]
m = 1,2, ... ,100, where ω 為 x^101 = 1 的 primitive root
對應的 eig value 為 ω^m+ω^{-m}
取 m=1 , 有最大eig value 2cos(π/101)，因此題目所求最大值是 cos(π/101)
將對應 eig vec 的虛數 i 提出，再將norm調為1，就是 windlike01 版友所說的向量
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推
06/29 10:04, , 1F
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06/30 00:38, , 4F
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