Re: [微積] 高手請進 一題微積分 謝謝
※ 引述《tankking (tank)》之銘言：
: g(x)=積分 100(t^2-3t+2)exp(-t^2)dt
: 範圍是從1到x
: 請問g(3)是否大於0?
: -------------------------------
: 謝謝!
: 好難喔!
: 我的想法是將g先微分
: g'(x)=100(x-1)(x-2)exp(-x^2)
: g在(1,2)區間遞減
: 在(2,3)區間遞增
: 且g(1)=0
: 這樣只知道該圖形先下降在上升
: 至於下降的速度與上升的速度
: 我認為下降的速度會大於上升的速度
: 因為有exp(-x^2)的關係
: 這樣如何知道g(3)是否大於0呢?
: 請高手幫忙!
: 非常謝謝!
我大概說一下馬馬虎虎的預估
因為要敘述，難免寫得拉哩啦紮
但是了解意思之後，就會知道其實沒什麼
3 2
I_2 =∫f(t)dt = ∫(t)(t-1)exp(-2t-1)exp(-t^2)dt
2 1
2 2
I_1 = ∫f(t)dt = ∫-(t-1)(t-2)exp(-t^2)dt 加負號是為使積分為正以比較I_1I_2誰大
1 1
2
I_2 < exp(-3)∫(t)(t-1)exp(-t^2)dt
1
以下討論均只對於t=1~2的區間
設g(x)=exp(-3)t(t-1)於此區間為遞增函數,最大值g(2)=2exp(-3) g(1)=0
h(x)=-(t-1)(t-2)於此區間為對稱拋物線 h(1)=h(2)=0 最大值h(3/2)=1/4
1/4 > 2exp(-3)
稍微畫一個圖
可知除t=1外，另一個交點在3/2右側t=k
h > g 當 t < k
h < g 當 t > k
會發現
k k 2
∫[h(t)-g(t)]exp(-t^2)dt > ∫[h(t)-g(t)]exp(-k^2)dt > ∫[g(t)-h(t)]exp(-k^2)dt
1 2-k k
2
> ∫[g(t)-h(t)]exp(-t^2)dt
k
註解
粗略取k=1/4 exp(-3)大概取20
第二個積分值大概是(1/2)[1/4-2exp(-3)]exp(-1/16) = 0.075exp(-1/16)
第二個積分值大概是(1/4)[2exp(-3)]exp(-1/16) = 0.025exp(-1/16)
所以
k 2
∫[h(t)-g(t)]exp(-t^2)dt - ∫[g(t)-h(t)]exp(-t^2)dt
1 k
2
= ∫[h(t)-g(t)]exp(-t^2)dt > 0
1
=> I1 > I2
所以g(3) < 0
抱歉我剛才重複用了g這個符號
最後一個g才是題目的g
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討論串 (同標題文章)
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