[其他] arctan series
討論皆於實數係。
簡單的說，欲實作反三角函式 (programming, 但數學原理不夠)，
在比較 arc-sin / arc-tan 後，決定以 arc-tan 為主，其餘皆為
f(arc-tan(x)) function
(這部份若持有以 arc-sin 為主之版友，也請不吝告知原因。)
我於 wiki 下查到二個關於 arc-tangent series
(i) taylor series (極小值時收斂比 euler series 快)
atan(x) = x - x**3 / 3 + x**5 / 5 - x**7 / 7 +... , for x = [-1,+1]
(ii) euler series (趨近於 1 時收斂比 taylor series 快)
x ∞ n 2kx^2
atan(x) = ---------- * Σ π --------------
1 + x^2 n=0 k=1 (2k+1)(1+x^2)
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我納悶的是，在數值分析中，實際上 atan(x) 之 x 值域是所有實數。
當 |x| >=1 時， taylor series 不會收斂，
而 euler series 在 |x| >=1 時收斂速度也變慢，甚至 x>100 時幾乎算不出來，
想請教在 x>1 情況下，是否有什麼方法可以改善其收斂速度？
或是在算 atan(x) 時又有其他的技巧或 series 做應用？
可 以 x=50 之情況做為討論。
謝謝各位不吝指導，感激不盡！
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I want to see u last time.
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