Re: [中學] 給個題目
※ 引述《justinj (黑旋風)》之銘言：
: 原來還有這個版的存在哦.....
: 我給個題目..如果有人要想的話
是怎樣...
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: (x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)共n個點所組成的n邊形包函著原點(0,0)
: 則存在兩個實數x,y>0
: 使得(x1,y1)*x^x1*y^y1+(x2,y2)*x^x2*y^y2+....+(xn,yn)*x^xn*y^yn=(0,0)
: =====================================================================
: ps.這題我想了很久才想出來...
設向量vi=(xi,yi)，u=(s,t)
F(s,t)= Simga(i=1~n) exp(sxi+tyi) >0
Claim: F有最小值
若Claim成立，設在(s0,t0)取到最小值，則F_s (s0,t0) = F_t (s0,t0)=0，
取x= exp s0, y=exp t0，即滿足所求之方程式
Proof of Claim:
由簡單的高微知，只要證 F(u) → infinity as ||u||→infinity
觀察：F(u) >= exp max {u‧v1,u‧v2,...,u‧vn}
以下證明存在e>0 max{u‧v1,...,u‧vk}>= e||u||
設 g:S^1→R， g(u)=max{u‧v1,...,u‧vk}
為緊緻集上的連續函數，若取不到e不存在，則存在
u使得u‧v1,...,u‧vn均<=0
又0在v1,...,vn內部，即有Sigma rivi=0, ri>=0
和u內積後，得到u‧v1=...=u‧vn=0
表示vi並沒有生成全平面，矛盾。
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.85.84.71
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