Re: [其他] 矩陣+ode
※ 引述《gggg9999 (居九)》之銘言：
解下列方程式
4 2 3e^(t)
X'=[ ]X+[ ]
2 1 e^(t)
另外請問 無限大 dx
[ ---------
0 1+x^(4)
如何解呢 是要用復利葉嗎
1.
線性非齊次方程：先找齊次通解再找非齊次特解
a.齊次通解：對於|X＞'=A|X＞，找到A的eigenvalue, λ_1,...,λ_n
並解出對應的eigenvector |s_1＞,...,|s_n＞（考慮complete的情況）
則通解為c_1|s_1＞exp[λ_1t]+...+c_n|s_n＞exp[λ_nt]
在這邊eigenvalue是0, 5
[-1 ] [2]
對應的eigenvector分別是[ ], [ ]
[ 2 ] [1]
b.非齊次特解：variation of parameter
設解的形式為sum over c_k(t)|x_k＞,其中|x_k＞=|s_k＞exp[λ_kt]
則解可以寫成一個矩陣乘積
|X＞=M|c＞,其中|c>是c_i為分量排成的column vector, M=[|x_1＞...|x_n＞]
而且M有一個性質叫做M'=AM（他好像有一個名字叫做fundamental matrix的樣子忘了@@
對t微分|X＞'=M'|c＞+M|c＞'=AM|c＞+M|c＞'=A|X＞+M|c＞'
由原方程|X＞'=A|X＞+|g＞,|g＞是非齊次項
-1
可得M|c＞'=|g＞也就是|c＞=∫M |g＞dt
在此
[-1 2exp[5t]]
M=[ 2 exp[5t]]
剩下積分代入應該可以了@__@
2.分母可分解為(x^2+√(2)x+1)(x^2-√(2)x+1)
部分分數分解後就可以做了
當然誠如推文所說用residue定理也是可以@_@
--
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◆ From: 140.112.249.241
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (02/29 02:40)
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是有點，但做習慣就直接拿起來做了XDDD
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喔好@@先去上課回來再補
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (02/29 08:31)
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02/29 17:01, , 8F
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1. |X＞'=A|X＞那段......欸對我個人其實算是解線性方程組的SOP。
就先找該矩陣的eigenvalue, 找eigenvector，解是他們的線性組合，
jack0711大在另外一篇有使用對角化的方法解將此系統decouple
他們意思是一樣的，一個是沒換基底，直接寫成eigenvector的線性組合
另外一個是換eigenvector為基底，你看到的就是eigenmode的疊加。
看個人習慣怎麼詮釋，是說最好的習慣應該還是decouple後還歸一。
2. 部分分式分解是背景知識最少但也繁雜的方法
（所謂conservation of mathematical difficulty XD）
有其他先進用了比較高竿的方法這就當作參考就好了吧@_@
1
∫dx －－－
x^4+1
x^4+1=(x^2+√(2)x+1)(x^2-√(2)x+1)=(x-(-a+b))(x-(-a-b))(x-(a+b))(x-(a-b))
a=1/√2, b=i/√2
我期待
1 1 1 1 1
－－－=A－－－－－+B－－－－－+C－－－－－+D－－－－－
x^4+1 (x-(-a+b)) (x-(-a-b)) (x-(a+b)) (x-(a-b))
把x^4+1乘過來，4個根一一代進去可解得A, B, C, D
A=(1-i)/4√2, B=(1+i)/4√2, C=-(1+i)/4√2, D=-(1-i)/4√2
再代進去算積分就好了，我的建議是A, B兩個合起來積分，C, D兩個合起來積分
（否則又ln又i的）
π會被arctan貢獻出來。
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (02/29 18:03)
推
02/29 19:57, , 9F
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