Re: [幾何] 三角形證明一題
※ 引述《utomaya (烏托馬雅)》之銘言：
: 三角形周長為L，已知一角為120度
: 試證此三角形面積/周長之比為最大，是另2角度相等時
: 也就是三角度為120度，30度，30度時
: 請教一下有人可以證明這題嗎?
考慮120度角兩邊的邊長, 不失一般性可設其中一邊長為1, 另一邊為a
則由餘弦定理, 對邊長的平方為 a^2+a+1
由正弦定理, 面積的平方為 3a^2/16
因此 (周長/面積)^2 = (a^2+a+1)/(3a/16)
1 6 1
= --- * ( a + 1 + ---)
3 a
1
上式的最小值發生在 a + --- 最小時, 由算幾不等式易知此時 a = 1/a
a
故 a = 1, 也就是等腰三角形時
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切記 任何事情都不能抹殺我們對唱歌的熱情
因為這是我們活著的原因
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