Re: [考古] 100年台大微積分A
※ 引述《windows10 (很硬微軟)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 trans_math 看板 #1FEwsqSI ]
: 作者: windows10 (很硬微軟) 看板: trans_math
: 標題: [考古] 100年台大微積分A
: 時間: Wed Feb 15 21:05:54 2012
: http://exam.lib.ntu.edu.tw/sites/default/files/exam/graduate/100/100053.pdf
: 不好意思麻煩大家了
: 第三題的話不知道怎麼下手
: 沒有給明確的P點 無法做出r=sin€的圖
: 要先找出切線在X與Y軸的交點嗎
: 第八題以及第九題
: 第八題是找(x^2+y^2+z^2)^2=(x^2+y^2-z^2)
: 所圍成的體積。
: 感覺上次要用球座標去做，但我化減之後還是無法畫出初步的圖形，
: 變成三重積分無法寫出範圍，請大家幫忙一下了。
計算有點複雜
首先用圓柱座標改寫成 (r^2 + z^2)^2 = r^2 - z^2
展開成 z^2 的二次方程式 z^4 + (1 + 2r^2) z^2 + (r^4 - r^2) = 0
判別式恆大於 0, 但兩根和 -(1 + 2r^2) 是負的,
要有正根的話兩根積 (r^4 - r^2) 必須是負的, 就可以推出 r 的範圍 0~1
在這個範圍每個 r 可以解出一個正的 z^2 的值:
z^2 = -(1/2 + r^2) + √(2r^2 + 1/4)
z = ±√( -(1/2 + r^2) + √(2r^2 + 1/4) ) = ±z'
這樣應該可以大概想像出圖形的樣子, 就是固定 r 從 z' 到 -z' 這之間
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2π 1 z'
V = ∫ ∫ ∫ r dz dr dθ = ∫∫ 2z' r dr dθ
0 0 -z'
變數代換 w = √(2r^2 + 1/4) , r = √(w^2 /2 - 1/8)
z' = √( -(1/2 + r^2) + √(2r^2 + 1/4) )
= √( -(w^2 /2 + 3/8) ) + w ) = √( -(w-1/2)(w-3/2)/2 )
w^2 = 2r^2 + 1/4 , w dw = 2r dr
全代入得 V = ∫∫ 2z' r dr dθ = ∫∫ w √( -(w-1/2)(w-3/2)/2 ) dw dθ
= 2π∫ w √( -(w-1/2)(w-3/2)/2 ) dw
w 的範圍是 1/2 ~ 3/2
剩下來只有一個單純的積分問題了~
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