Re: [線代] 自乘不變矩陣的問題
※ 引述《penolove (醜獸的(女)朋友)》之銘言：
: 小弟(妹)寫題目遇到一提這個
修改只是為了性轉嗎……
: A+B+C=I
: A^2=A B^2=B
: A,B,C對稱
: C非負
: 試證C^2=C
: 到底怎麼證呢,自乘不變有甚麼性質嗎
: 感恩
首先，A,B,C對稱，所以可以用正交矩陣對角化。
A^2=A,B^2=B，所以 A,B 的 eigenvalue 只能是 0,1。
如果 A,B 其中一個是 0，C^2 就是 C 了，
所以假設 A,B 的 eigenvalue 都有 1。
令非零向量 x 滿足 Bx=x，以下 x' 代表 x 的轉置。
因為 x'Ax+x'Bx+x'Cx=x'Ix，所以 x'Ax+x'Cx=0，
但是 x'Ax,x'Cx 都非負，所以都是 0。
故 Ax=0 ，即 x 是 A 的 eigenvector。
B 的 1-eigenspace 掉在 A 的 0-eigenspace 裡，
同理，A 的 1-eigenspace 掉在 B 的 0-eigenspace 裡。
所以 AB=BA=0。
最後展開 C^2=(I-A-B)^2=I-A-B=C，Q.E.D.。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.162.61.224
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※ 編輯: Vulpix 來自: 1.162.61.224 (01/26 19:34)
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