Re: [微積] 泰勒與馬克勞林級數有什麼關係阿

看板Math作者alasa15 (alasa)時間12年前 (2011/12/26 00:25)推噓6(6推 0噓 0→)

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※ 引述《sparta40 (該死的斯巴達)》之銘言： : 感覺這兩個級數非常相似 : 所以想了解一下他們的關係 : 可不可以請大大稍微解惑，或是講講古@@ : PS：我實在搞不懂創造這兩個級數有什麼好處好處可多了給你一些例子 1 1 1 Ex1. 求1-(---)+(---)-(---)+... 之值 2 3 4 這個級數用Leibniz判別法可以判斷出是收斂的但是要怎麼求值呢? 1 1 考慮------- = ------ = 1 - x + x^2 - x^3 +... (This is Taylor series) 1 + x 1-(-x) 兩邊同時做定積分(from 0 to 1) 1 dx 1 ∫------ =∫ (1-x+x^2-x^3+...)dx 0 1+x 0 x=1 1 1 1 =>ln(1+x)| = 1-(---)+(---)-(---)+... x=0 2 3 4 =>What we want is ln(1+1) = ln2 Ex2. e^(ix) = cos(x) + isin(x) Why? x^2 x^3 x^4 e^x = 1 + x + ----- + ----- + ----- +... 2! 3! 4! x^2 ix^3 x^4 e^(ix) = 1 + ix - ----- - ----- +----- +... 2! 3! 4! x^2 x^4 x^3 x^5 = [1-(-----)+(-----)-...] + i[x-(-----)+(-----)-...] 2! 4! 3! 5! = cos(x) + isin(x) 無窮級數是一個強大的數學工具我們可以用它來處理以往一些用初等數學無法解決的問題再來看一下sin(x^2)的展開 x^6 x^10 sin(x^2) = x^2 - (-----) + (------) -.. 3! 5! sin(x^2) 當你想要比較 x^2 和 sin(x^2) 哪個趨近於零的速度比較快(lim --------) x->0 x^2 可能沒辦法直接看出來但用泰勒級數展開代進去一看就知道極限是一了泰勒級數將函數分解成多項式的型態而多項式的特色就是簡單易操作(微分積分) 不僅如此我們也對它們比較有感覺XD 捨棄一些精確度換取操作上的便利性有時候是值得的 (你可能會覺得展開時計算很繁瑣不過這也算是數學能力的一部分阿 <(￣ ▽￣)y▂ξ) 註:偷用了Abel...等定理雖然這樣推導邏輯上並不完美(Ex.這樣亂展開一通亂代數字亂交換順序結果會收斂嗎?) 但寫出來太長就不詳談了Orz 有興趣請參閱高微 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.249.29.116

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ntust661

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sparta40

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