Re: [分析] 實分析
關於第一題 我今天有想到一些想法
可以請教一下
f'(x) = ax^(a-1) * sin(x^-b) - bx^(a-b-1)*cos(x^-b)
對於任何 0<ε<1 , f'(x) 在[ε,1]上是連續且有界的
由MVT,和Lipshitz ,很容易證明 Tf(ε,1)< M(1-ε)
case1 a>b的情況
我想證明 Tf(ε,1)< T for some T 對所有的 0<ε<1 ,
因為 這件事情成立的話
對於任意partition P={t_i}i=1,i=n
我們可以取一個refinement Q ={s}∪P , 就是在t_1前面,再取一個很靠近0點s
使得 f(s)<δ
n n
Σ|f(t_i)-f(t_i-1)| <= |f(s)-0|+|f(t_1)-f(s)|+ Σ|f(t_i)-f(t_i-1)|
i=1 i=2
<= δ+ Tf(s,1) <= δ+T
δ is arbitrary
n
Σ|f(t_i)-f(t_i-1)| <= T
i=1
Tf(0,1) <= T
這樣就是bounded variation
現在就來證明 Tf(ε,1) 有界這件事
先考慮 在[1/k+1 , 1/k]的區間 叫它 Ik好了
|f'(x)|<= ax^(a-1)+bx^(a-b-1)
Tf(Ik)<= (ax^(a-1)+bx^(a-b-1))*(1/k-1/k+1)
= ax^(a-1)*(1/k-1/k+1)+bx^(a-b-1)*(1/k-1/k+1)
ax^(a-1)*(1/k-1/k+1)<= a(1/k)^(a-1) *(1/k-1/k+1) (如果a>1的話)
=a(k)^(1-a) *(1/k(k+1))
=ak^(-a-1) *(k/k+1)
如果a<1 就改以(k+1)代入
會變為 a(k+1)^(-a-1) *(k+1/k) 其實意思一樣
令 ax^(a-1)*(1/k-1/k+1)<= A_k (A_k=ak^(-a-1) *(k/k+1) 如果a>1)
bx^(a-b-1)*(1/k-1/k+1) <= bk^(1+b-a) *(1/k(k+1)) (如果a-b>1的話)
= bk^(b-a-1) *(k/k+1)
=B_k
如果a-b < 1 就改以(k+1)代入
會變為 b(k+1)^(b-a-1) *(k+1/k) 其實意思一樣
令 bx^(a-b-1)*(1/k-1/k+1) <= B_k
∞ ∞
T= ΣTf(Ik) = ΣA_k+B_k = ΣA_k + ΣB_k < ∞
k=1 k=1
n-1
For any ε, [ε,1] contained in [1/n,1] = ∪[1/k+1,1/k] for some n
k=1
n-1 ∞
Tf(ε,1)<= Tf(1/n,1) = ΣTf(1/k+1,1/k) <= ΣTf(Ik) = T
k=1 k=1
這樣就證完了
至於a<=b的部分 取特別的partition就好 比較簡單..就不寫了
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