Re: [微積] 問個很無聊的問題

看板Math作者dogy007 (dogy007)時間14年前 (2011/11/28 12:05)推噓5(5推 0噓 6→)

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※ 引述《djljing (娛樂金魚眼)》之銘言： : 在翻微積分課本時發現這題 : 0=1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+........ : =[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]+[........ : =1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+[(-1)+...... : =1 : => 0=1 # : 書上問說這哪裡有問題? : 記得好像在級數那章 : 有人知道嗎? : "學數學最重要是開心與否" 前面提了，這級數其實有些名氣，有興趣的人自己去看 wiki 這裡想說的是，自從牛頓和萊布尼茲以來，微積分/數學分析發展迅速，但是由於對於極限，一直都是直觀的看法所以也衍生了不少問題，上面級數是一個問題 Euler 曾經也被一些不收斂的級數困擾過，即使到了 Fourier 的時代，都還為這些問題困擾不過， Cauchy 最早開始用 episilon-delta 論證 Bolzano 做了一些工作最後 Weierstrass 給出了今天我們用的極限定義，給了微積分堅實嚴格的基礎所以今日讀過高微甚至微積分的人都很清楚上面級數的問題不過歷史上，有人認為那是 1, 有人認為是 0, 還有人認為取中值 1/2 有人認為像 1+2+4+8+... 是魔鬼的作品，數學家應該敬而遠之(註) 即使 Cauchy 都曾經證明了下面的 "定理" 如果 f_n(x) 是連續函數 on [a,b], f_n(x) 逐點收斂到 f(x) 則 f(x) 也是連續函數現在讀過高微的學生，都清楚上面"定理"是錯的，但在 Cauchy 的時代數學家還搞不清楚逐點收斂/均勻收斂，連續/均勻連續等概念的差異註: 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ..... 用 x = 2 帶入得到 -1 = 1 + 2 + 4 + 8 + .... 有人可能會懷疑以前數學家怎會搞這種飛機？其實看看牛頓時代怎麼算微分的？以 x^3 為例，考慮一個無限小量 dx (x+dx)^3 - x^3 = 3x^2dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3 因為 dx 是一個無限小量，所 3x(dx)^2, (dx)^3 都可以視為 0 所以 x^3 的微分為 3x^2dx 同時代的人就質疑究竟 dx 是否為 0, 如果是 0 , 那所謂微分就是 0, 如果不是那 3x(dx)^2, (dx)^3 也不會是 0, 怎可以拿掉數學家對於這樣的問題，一直無法回答，一直到 Weierstrass 建立嚴格分析無限小量 dx 這樣的幽靈終於被逐出數學的殿堂當然這不是故事的結尾 1960 年代, Abraham Robinson 建構了一個用無限小的嚴格分析體系，無限小又回到數學殿堂裡，而且是嚴格的，不是時有時無的幽靈，這套體系稱做 Non-standard analysis 。不過這東西顯然比起 standard analysis 要難得多了，嗯，至少我認為如此 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.132.177.99

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