Re: [分析] 數列證明
※ 引述《asid52714 (黑心人)》之銘言：
: 各位版友好，有一個問題想請問各位的想法。題目為
: Let {An} be a sequence of positive numbers such that
: lim n→∞ An = L. Prove that lim n→∞ [A1*A2*....*An]^(1/n).
: 我的想法是用算幾不等式(A1+A2+...An)(1/n)=>[A1*A2*....*An]^(1/n).
: 並且先證出lim n→∞(A1+A2+...An)(1/n)=L，就可以得到
: L=>lim n→∞ [A1*A2*....*An]^(1/n).
: 此時如果可以找到一個不等式就可以使用夾擠定理了^^，
: 可是就卡住了TσT........。
: 想請問各位版友有沒有甚麼建議？
若 L ＝ 0
1/n
0 ≦ (A A ... A ) ≦ (A ＋A ＋ ... ＋A ) (1/n) , 然後夾擠
1 2 n 1 2 n
若 L ≠ 0
1 1 1 1 1 1
lim ─ ＝ ─ ＝＞ lim ( ─ ＋ ─ ＋ ... ＋ ─ ) (1/n) ＝ ─
A L A A A L
n 1 2 n
n
＝＞ lim ─────────── ＝ L
1 1 1
─ ＋ ─ ＋ ... ＋ ─
A A A
1 2 n
於是就可以用調和平均≦幾何平均≦算術平均 , 然後夾擠
: 另外我想問一下lim n→∞ [A1*A2*....*An]^(1/n)根據極限的乘法運算規則
: 可以拆開成lim n→∞ (A1)^(1/n)*lim n→∞ (A2)^(1/n)*.....*lim n→∞ (An)^(1/n)
: 那可以推得上式=L^(1/n)*L^(1/n)*....*L^(1/n)=L嗎？
極限的乘法規則說的是 , 如果 lim f 和 lim g 都是存在的
那麼 lim fg 會等於 ( lim f )( lim g )
推廣以後就變成 lim f f ... f 會等於 ( lim f ) ... ( lim f ) 只要這k個都存在
1 2 k 1 k
但是你這裡, 它到底是幾個東西相乘呢?
你乘的項數本身就不是固定的 根本是會跑到無限大去了
這樣就跟乘法規則說的不一樣
來看看假設我們真的套用下去
1/n
你會得到 對每個k lim A ＝ 1
n→∞ k
你會得到很多1乘在一起
1/n
而非你所寫的 L
不是都已經以n為index做極限了嗎? n應該不在了吧!
n
舉個類似的例子, 我們知道 lim (1＋1/n) ＝ e
n→∞
如果我們拆成 ( lim (1＋1/n) ) ... ( lim (1＋1/n))
也是會得到很多1乘在一起
癥結點就在於 打從一開始就不能那樣拆了
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◆ From: 140.112.4.183
推
11/15 17:59, , 1F
11/15 17:59, 1F
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