Re: [分析] 一個等式
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: If h is conti on [0,1],then
: 1
: lim ∫ h(x)sin(nx)dx=0
: n->∞ 0
: 這等式好像很有名?可以問一下證明的方法嗎? 感謝
記得以前讀微積分時，習題裡有這一題
修改一下證明，更廣泛的情形
令 g(x) 在 R 上任閉區間黎曼可積，G(x) 為其反導函數，且滿足
|g(x)| <= M1, |G(x)| <= M2 on R
則 對 h is conti on [0,1],
1
lim ∫ h(x)g(nx)dx=0
n->∞ 0
證明：
因為 h(x) continuous on [0,1], 所以存在 M3 > 0 , 使得 |h(x)| <= M3
given epi > 0, 因為 h(x) 均勻連續 on [0,1], 所以 存在 delta
使得 當 |x-y| < delta 時, |f(x)-f(y)| < epi/2M1
choose k , 1/k < delta, choose N = 4kM2 M3/epi
當 n > N
|∫_{0 to 1} h(x)g(nx) dx |
= | Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} h(x)g(nx)dx |
<= | Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} h(j/k)g(nx)dx | +
| Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} (h(x)-h(j/k))g(nx)dx |
上面第二項 小於 Sum_{j=1 to k} (epi/2M1) M1/k = epi/2
第一項 | Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} h(j/k)g(nx)dx |
<= Sum_{j=1 to k} | h(j/k)| |∫_{(j-1)/k to j/k} g(nx)dx |
= Sum_{j=1 to k} | h(j/k)| | -(G(nj/k) - G(n(j-1)/k))/n|
<= 2k M2 M3/n
< 2kM2 M3/N = epi/2
所以當 n > N 時
|∫_{0 to 1} h(x)g(nx)dx | < epi
所以 lim ∫_{0 to 1} h(x)g(nx)dx = 0 as n -> infinity
也就是說這個東西成立，其實和 g 是否為周期函數其實無關
也不需要傅立葉級數的一些結果來證明
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