Re: [工數]正合問題
※ 引述《ru18284 (夯哥)》之銘言：
: 各位高手們
: 小弟在這有幾個問題想請教你們
: (1)
: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
: δM δN
: ----- = -----
: δy δx
這是正和成立的條件
: 若u(x,y)=c 則
: δu δu
: ----- =M(x,y); ----- =N(x,y) 這是怎麼來的??
: δx δy
: 為什麼對X偏微就會等於M(x,y) 而不是等於N(x,y) ??
其實 課本裡面有 只是 都是英文 看不懂
講個抱歉 Partial的符號打不出來 暫且用以前的符號δ表示
先假設你知道全微分
let u(x,y)=c為解
δu δu
du=0 ------ dx + ------dy=0
δx δy
比較原式 就可得到M(x,y) 和 N(x,y)了
: (2)
: 若為非正合
: 求積分因子時
: δM δN
: ----- - -----
: δy δx
: ------------------ = f(x)
: N
: OR
: δM δN
: ----- - -----
: δy δx
: ------------------ = f(y)
: -M
: 為何要相減後去除以N(-M) ??
這個證明很複雜(而且PTT很難排版)
當參考用就好
令I為積分因子
IM(x,y)dx+IN(x,y)dy=0
正和條件：
δ(IM) δ(IN)
------- = ---------
δy δx
δM δI δN δI
展開得 I------+M ------ = I------ + N ------
δy δy δx δx
δM δN δI δI
I( ── - ── ) = N ── - M ── --------(a)
δy δx δx δy
Case I: I=I(x)
δI δI dI
則 ── =0 ── = ── 代入a式
δy δx dx
δM δN dI
I( ── - ── ) = N ──
δy δx dx
1 δM δN 1 dI
── ( ── - ── ) = ── ──
N δy δx I dx
等式成立條件：左邊那一大串要為的函數f(x)
1
則f(x)dx = ── dI
I
I=exp[∫f(x)dx]
同理 Case II: I=I(y)
δI δI dI
則 ── =0 ── = ── 代入a式
δx δy dy
以下同Case I 證明過程
: 還是這些都是知道怎麼算就好
: 證明的事交給數學系處理??
反正也少考 當賞心悅目就好
: 謝囉~~
不客氣^^
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