Re: [微積] 幾個無限觀念的問題
這類困擾很常見, 原因是:
1. 數學上的無限是可以自圓其說的, 但是現實生活中沒有這種無限
所以數學上計算的結果, 若對比到現實生活中出現了困擾, 往往是
"假設一個現實生活中不可能的事情, 得到一個和直覺違背的結果"
因為前提就不是現實生活中可能出現的現象了,
所以無論他結論是什麼, 都不用覺得奇怪,
例1
如果進行無限次動作, 最後會怎麼
例2
如果我能在 2^{-k}, k→∞ 秒內做這個動作, 則之後會怎樣
2. 今天的情況又有點不一樣, 出題者自己答非所問, 亂寫一氣
這題目的數學面很簡單, 定義以下集合
E1 := {2, ..., 10}
E2 := {3, ..., 20}
.
.
.
Ek := E_{k-1} ∪ {10*k-9, ..., 10*k} \ {k}
F1 := {2, ..., 10}
F2 := {2, ..., 10, 12, ... , 20}
.
.
.
Fk := F_{k-1} ∪ {10*k-8, ..., 10*k}
一二題就是證明 lim Ek 和 lim Fk 存在 並求出他們是什麼
是的, lim Ek 是空集合, 但你不能說 "最後" 箱子裡沒有球,
lim Fk 是無限集, 但你不能說 "最後" 箱子裡有無限多顆球,
因為在 "語言" 中, 我們覺得最後箱子裡有無限多顆球, 因為
lim |Ek| = ∞, lim |Fk| = ∞
但出題者自己算出 | lim Ek | = 0
但自己不知道 | lim Ek | 和 lim |Ek| 的差別
* 無聊補充 這也可以用簡單的實分析語言來描述:
定義函數 e_k(x) = 只在 Ek 內的點上取值為 1, 其餘為 0
算其個數, 如同在 counting measure on (N, P(N)) 下積分
| lim Ek | 和 lim |Ek| 便可改寫成 ∫ lim e_k 和 lim ∫ e_k
此時函數 e_k(x) 是逐點收斂到 恆0函數 ,
給了另一個 "逐點收斂不保證極限可遞入積分" 的例子
3. 第三題我之前錯看了, 做出了錯誤的論證
感謝 LimSinE 學長指正
數學式以及其推論是沒有錯的,
任何"球"在"最後箱子"中的機率為 0
因此這個 "最後箱子" 中沒有任何球
4. 最後補充一個我"討厭"的現象
為什麼有"最後的箱子"?
現行大家接受的說法是, 我們能定義的就是數學模型取極限
即使中文當中"最後的箱子"不存在,
也因為這是 適合對應數學模型取極限 的文句
因而使用這個說法
--
「我們愛星星至深無懼於黑暗。」
"We have loved the stars too fondly to be fearful of the night."
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.207.151.119
推
09/25 04:50, , 1F
09/25 04:50, 1F
推
09/25 04:52, , 2F
09/25 04:52, 2F
→
09/25 04:58, , 3F
09/25 04:58, 3F
→
09/25 08:47, , 4F
09/25 08:47, 4F
→
09/25 09:16, , 5F
09/25 09:16, 5F
→
09/25 09:26, , 6F
09/25 09:26, 6F
→
09/25 09:27, , 7F
09/25 09:27, 7F
→
09/25 09:28, , 8F
09/25 09:28, 8F
→
09/25 09:28, , 9F
09/25 09:28, 9F
→
09/25 09:34, , 10F
09/25 09:34, 10F
→
09/25 09:35, , 11F
09/25 09:35, 11F
※ 編輯: TassTW 來自: 71.207.151.119 (09/25 13:25)
討論串 (同標題文章)