Re: [其他] 證明
※ 引述《handsomepow (handsomepow)》之銘言:
: 證 = =
: N 小於不等於 R
: ("="集合的元素個數)
: 翻書有查到
: = =
: R的個數為2^ N
: 還是不太了解該怎證
首先考慮 2^N 這個集合
原始的定義是:S is a set, then 2^S is the collection of the subset of S
so 2^N = {{n_1,n_2,..n_m....}│m€Natural number}
造一個函數f:2^N → U by f({n_1,n_2,..n_m....}) = (s1,s2,...,s_n,...)
, si = 1 if i = n_j , j€natural number
si = 0 if i=/= n_j
U是由0,1所組成的數列集合
也就是說 U = {(s1,s2,...,s_n,...)│s_i=0,1 for all i€Natural number}
所以2^N 就可以看成 U 了
則可以證明2^N是不可數的
(pf:假設2^N可數,則2^N可以排成下列形式:2^N={a1,a2,a3....}
where ai=(ai_1,ai_2,a_i3.....)€2^N , ai_j=0 or 1
define a sequence t=(t1,t2,t3.....) by
ti = 1 , if ai_i = 0
0 , if ai_i = 1
then we find ti+ai_i = 1 , for all i
and t€2^N
so t = ai , for some i
(t1,t2,....,ti,...) = (ai_1,ai_2,....,ai_i,....)
we find ti = ai_i , →← to ti+ai_i = 1 , Q.E.D.)
會令2^N是因為這個數列從1開始,下標都是正整數,1 2 3 4 ....
然後每項都有0,1兩個選擇 所以有2^N種選擇
唉呀 反正可以互推 隨你怎麼想~~XD
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現在如果題目只是要證明:R is uncountable
則考慮一個函數 f:2^N → [0,1] by f((s1,s2,...,s_n,...)) = 0.s1 s2 s3...
then f is one-to-one and f(2^N) 被[0,1]包含,所以f(2^N)是[0,1]的子集
假設R是可數的話,[0,1]也會是可數,f(2^N)也會是可數
(可數集的子集也會是可數)
但是f:2^N → f(2^N) is 1-1 and onto
if f(2^N) is countable , then 2^N is countable , →←
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如果現在要證你要問的第一題:
如果card(N) = card(R)
代表存在1-1 onto的函數from N to R , 與R是不可數矛盾
如果card(N) > card(R)
代表存在1-1 的函數f: N into R
所以f:N→f(N) is 1-1 , onto , so f(N) is countable
而f(N) 被R包含 R是不可數 矛盾
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再來是你問的第二題:
考慮二進位的方式
0 = 0 , 1/2 = 0.1 , 1/3 = 0.01.... , 1 = 0.111111111111111
則剛剛講的f變成1-1 and onto [0,1] (小數點擺在第一個不為零之前)
所以 card(2^N) = card([0,1])
再來我只需要證[0,1]與(0,1)間存在一個bijection就證完了
因為要造一個bijection from (0,1) to R 太簡單了
可是......................
光[0,1]與(0,1)間存在一個bijection 就花了我快兩個小時= ="
還是證出不出來^^"
不過同學google到了....
http://planetmath.org/encyclopedia/ClosedOpen.html
這是一個證(0,1) [0,1] (0,1] [0,1) 彼此間都存在bijection的證明
(可推得 R、R中任何open interval ,interval , half-open or half interval
這五個彼此間都存在bijection)
第二個證明蠻好懂得
所以我們就有card(2^N) = card([0,1]) = card(R)
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推
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