Re: [數論] 找 n 使得 36|n^9+n^6+n^3+1
※ 引述《iddee ()》之銘言：
: 求所有小於 36 的正整數 n 使得 36 | (n^9 + n^6 + n^3 + 1)
12 3 9 6 3
n － 1 ＝ (n － 1)(n ＋ n ＋ n ＋ 1). Notice that
12
36∣n － 1 <=> g.c.d.(n,36) ＝ 1.
9 6 3 6 3
Next, we see that n ＋ n ＋ n ＋ 1 ＝(n ＋ 1)(n ＋ 1). If
6 3
g.c.d.(n,36) ＝ 1, then n is odd, both n ＋ 1 and n ＋ 1 are even, and
6 3
so 4∣(n ＋ 1)(n ＋ 1).
3 6 6
Now, if 3∣n ＋ 1, then 3∣n － 1, 3 cannot divide n ＋ 1.
3
Thus 9∣n ＋ 1, n ≡ 2, 5, 8 (mod 9). In summary,
n ≡ 2, 5, 8 (mod 9) and n ≡ 1, 3 (mod 4),
n ＝ 29, 5, 17, 11, 23, 35.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.123.61.38
推
09/19 17:37, , 1F
09/19 17:37, 1F
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