Re: [線代] 台大某年

看板Math作者yusd24 (阿鄉)時間14年前 (2011/09/12 10:52)推噓5(5推 0噓 9→)

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※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言： : 許多題目都毫無頭緒 : 希望大家可以繼續不厭其煩地幫助我QAQ : 1. V is a vector space of function over |R. Show that {sin^n(x)} is a linear : independent set of V, n=0,1,2... : 無限獨立集是說拿任一數目出來都是獨立嗎? : inf : 還是是要用令 0=sum a_n*sin^{n}(x)這樣嗎? : 0 : 還是有特別的解法?(我原本以為是內積) 考慮任意的有限子集合 {sin^{n_i}(x)},i=1,...,m. 假設存在實數使得 a_1sin^{n_1}(x)+.....+a_msin^{n_m}(x)=0 我在 (0,\pi/2] 隨便挑 m 個相異的數字得到一個以(a_1,....,a_m)為變數的線性方程組此方程組有非零解的充分必要條件就是係數的行列式值等於零但這不可能，因為這些係數所成的行列式是恰好就是凡德瓦行列式也就是 1 b_1 b_1^2 .... b_1^m 1 b_2 b_2^2 .... b_2^m . . 1 b_m b_m^2 .... b_m^m 的樣子。此行列式為零的充要條件是 b_i=b_j for some i,j 因為我挑的 m 是相異的，因此在行列式中a_i與a_j均相異。故不可能有非零解. : 2.Let V be a vector space over a field F and T is a linear transform on V : such that for all v in V, there exists a λ_v in F such that T(v)=λ_v*v. : Show that there is a λ in F such that T(v)=λv for all v in V. : 似乎是無限維度才對,原本以為 p_T(x)=det(T-xI) 恆等於0(因為全部的v都是eigenvalue : 後來想想也可能因為無限維度所以我的想法是錯的 : 這題可以直接開圖找出那個λ嗎? 假設 w,v 線性獨立，依假設 T(v)=av, T(w)=bw. T(v+w)=c(v+w) 因為 T 是線性的，所以 c(v+w)=T(v+w)=T(v)+T(w)=av+bw => (c-a)v=(b-c)w. 因為獨立，所以 c-a=b-c=0. 也就是說如果兩個向量獨立的話，他們的λ_v要相同現在取 V 的任意的基底 B, 隨便一個有限子集合的 λ 均相同。因此整個 B 的λ均相同。 : 3.Let F be a field and A_1,...A_{n^2} be a basis of M_{n*n}(F).Show that for : any set c_1,...c_{n^2} in F there exists a B in M_{n*n}(F) such that : tr(A_iB)=c_i for all i=1,...n^2 : 原本想用數學歸納法試試看 : 可是找不到一個理由讓滿足前n^2-1的那個B會讓tr(A_{n^2}B)=c_{n^2} : 感謝大家QAQ : 怎麼這麼快就要推甄了(崩潰提示：<A,B>:=tr(AB^t) 是一個內積 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.249.190.144

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yusd24

09/12 11:01, , 1^F

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yusd24

09/12 11:01, , 2^F

09/12 11:01, 2^F

※ 編輯: yusd24 來自: 111.249.190.144 (09/12 11:03)

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jacky7987

09/12 11:24, , 3^F