[微積] 連續函數與不動點一題(已解決)

看板Math作者 (神秘數學組織SIGMA)時間14年前 (2011/08/29 19:38), 編輯推噓1(1推 0噓 3→)
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如果f在R上連續,且f(f(0))=0,證明存在c使得f(c)=c 我不知道如何下手,麻煩大家了,謝謝 如果很trivial,別笑太大聲,前幾天才耍笨一次XD -- 近年來總有一小股別有用心的人在社會上傳播各種小道消息，畜意醜化大學教授形象， 最出名的一句是：「白天是教授，晚上是禽獸。」王XX教授用實際行動給了這些人一 記響亮的回擊：白天，我們也是禽獸！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 125.233.16.196
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08/29 19:43, , 1F
把f(0)>0、f(0)=0、f(0)<0分開證
08/29 19:43, 1F
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08/29 19:45, , 2F
let g(x)=x-f(x)
08/29 19:45, 2F
感謝w大與k大的提示,真是一語驚醒夢中人,我把解答寫完整好了 若f(0)=0,那取c=0 若f(0)=m>0,命g(x)=x-f(x),因f是R上的連續函數,而x也是R上的連續函數,所以g是R 上的連續函數.由題設,g(0)=0-f(0)=-m<0,而g(m) = m-f(m) = m-0 = m > 0.此時由介值 定理知在(0,m)中必存在c使得g(c)=0,所以得到f(c)=c. 若f(0)=n<0,命g(x)=x-f(x),同上段理由,g是R上的連續函數.g(0) = -n >0, g(n) = n-f(n)=n<0,所以由介值定理得證 ※ 編輯: pentiumevo 來自: 125.233.16.196 (08/29 20:01) ※ 編輯: pentiumevo 來自: 140.114.32.189 (08/30 08:55)
推
08/30 11:12, , 3F
等等...f(m)怎麼會是0?
08/30 11:12, 3F
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08/30 11:12, , 4F
沒事...看到了
08/30 11:12, 4F
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