Re: [代數] the centralizer of a

看板Math作者TassTW (塔矢)時間14年前 (2011/08/07 01:21)推噓6(6推 0噓 5→)

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※ 引述《jason8002 (一個人一杯咖啡)》之銘言： : 用英文查了一下 : 扶正者? no, 沒有人會講這個每個人都是講英文 centralizer : 據我了解 : 他是 : C(a)={g包涵G | g*a=a*g} 包含於 : 就是給定一個a包含於G : 我們可以找到g在G裡面並跟a符合交換律的性質 : 我們稱之為 the centralizer of a. : 但是跟這個 centralizer 有什麼關係? 1. 你需要"先"知道的是 center G 中的 center 寫作 Z(G) 即是那些 "可以和 G 中所有元素交換" 的元素真的寫出來就是 Z(G) = { x in G; gx = xg for all g in G } 一般來說任意元素 a in G 不會落在 center Z(G) 中但我們必定可以找 centralizer of a 讓 a 落在 C(a) 的 center 中 2. 大學部代數中, 學 centralizer 最直接的用途是算 conjugacy class 的大小即包含 a 的 conjugacy class 個數為 [G:C(a)] 學代數應該要能自己由定義導出這件事之後便能得到 class equation |G| = |Z(G)| + Σ [G : C(x_i)] 用 class equation 配合 Lagrange 定理就能瞬間得到一些定理做的事情通常是計算 [G: C(x_i)] 的可能來對 Z(G) 的大小做限制一旦得出 |Z(G)| = |G|, 便能知道 G 是交換群 3. 在有限群的研究中, 觀察 self-centralizing subgroups 也頗有用不過我不是這方面的專家, 有請其他人補充 4. 另一個相關的概念是 normalizer N(H) = { g in G; gH = Hg } 一般來說任意子群 H in G 不見得 normal ( gH = Hg for all g in G ) 但我們必定可以找 normalizer of H 讓 H normal in N(H) 5. 大學部代數中, 學 normalizer 才能證明 Sylow 定理是有限群論在群表現理論出現之前最強大且唯一的工具 6. 深一點的代數中, normalizer 也影響深遠, 比方說李代數第一個大定理是複半單李代數的分類定理, 簡單的講, 就是李代數 L 的 Cartan 子代數 H 在 L 上的作用夠好, 就像是向量空間 V 拆解成不同的 (generalized) eigenspaces 一樣, 推廣概念, 李代數 L 也可以拆解成不同的 weight spaces, 就可以用 Dynkin diagrams 來描述這些 weight 研究 Dynkin diagrams 並證明其對應, 便成功的將複半單李代數分類而這一切都要歸功於 Cartan 子代數 H 夠好, 他的定義是什麼? Nilpotent self-normalizing subalgebra 7. 再扯遠一點, 雖然 centralizer 在以後的用途好像沒那麼多, 但是 center 卻是會一直學到, 很重要的概念, 意義可以想成量度一個數學結構的可交換程度實例, 不好意思我又舉個李代數的例子: 李代數表現論中, 兩個重要的結構是 Verma module M(λ) 和 simple module L(μ) 研究 L(μ) 出現在 M(λ) 中幾次是個結合代數幾何和表現理論的超級大難題稱 Kazhdan-Lusztig conjecture, 在 1980 年左右由 Beilinson-Bernstein 解出, 印象中是個 1983 ICM talk (對, 就是那個頒 fields 獎的會) 省略技術面, 這個問題的基礎建立在 Harish-Chandra 定理上定理敘述是 Z(L) 和 S(H)^W 作為 algebra 同構, 其中 Z(L) 是 center of the universal enveloping algebra of L S(H)^W 是 symmetric algebra on H 上, 在 Weyl group 作用下不變的結構 8. ........好像扯太遠了總之學代數不要只看定義, 一來要知道課本定義背後藏了什麼東西二來要能夠真的計算實際的群, 我大力推薦初學者把對稱群 Sn 作為研究主體把所有你看到的抽象定義都算一遍看看 G = Sn 的特例為何 -- 「我們愛星星至深無懼於黑暗。」 "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night." -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.166.176.140

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ijsfkira

08/07 02:44, , 1^F

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rich780501

08/07 03:55, , 2^F

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※ 編輯: TassTW 來自: 218.166.11.61 (08/07 09:24)

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jason8002

08/07 13:55, , 3^F